[安乐椅#17] 函数对称性与周期性
发布时间 2023-06-17 20:14:45作者: Gokix
自对称 & 互对称
自对称
- \(f(a+mx)=f(b-mx) \Leftrightarrow y=f(x)\) 的图像关于直线 \(x= \dfrac{a+b}{2}\) 对称 \((m \ne 0)\).
操作方法：将括号内两式取中点可得对称轴，即 \(\dfrac{a+mx+b-mx}{2}=\dfrac{a+b}{2}\).
互对称
- 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R}\)，则 \(y=f(a+mx)\) 与 \(y=f(b-mx)\) 关于 \(x=\dfrac{b-a}{2m}\) 对称 \((m \ne 0)\).
- 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R}\)，则 \(y=c+f(a+mx)\) 与 \(y=d-f(b-mx)\) 关于 \((\dfrac{b-a}{2m},\dfrac{c+d}{2})\) 对称 \((m \ne 0)\).
操作方法：根据 \(f\) 同号/异号判断是轴对称/中心对称，令括号内两式相等可解得对称轴/对称中心的横坐标，即 \(a+mx=b-mx \Rightarrow x=\dfrac{b-a}{2m}\).