很有创新的一道题
我们设\(n = \sum_{i=1}^{7}{a_i}\)。考虑一下如果我们第\(1\)到\(7\)选的数的顺序\(S = \{1,2,3,4,5,6,7\}\)，那我们的概率：
\[P(S) = \prod_{i=1}^{7}{\frac{a_i}{n-i+1}}
\]
首先我们容易发现如果\(S\)的顺序不同，那他的概率是不变的。因此\(7\)次操作触发一个“七重奏”的概率为：\(7! \times\prod_{i=1}^{7}{\frac{a_i}{n-i+1}}\)
我们再考虑第\(2\)到\(8\)次操作触发一个“七重奏”的概率，我们可以先枚举第\(i\)个位置是什么，然后再用同样的方法计算\(2\)到\(8\)构成“七重奏”的方案。可以得到柿子：
\[\begin{align}
\sum_{i=1}^{7}{(7! \times \frac{a_i}{n} \times \prod_{j=1,j \neq i}^{7}{\frac{a_j}{n-j}} \times \frac{a_i}{n-i})} &= \frac{7! \times \prod_{i=1}^{7}{a_i} \times \sum_{i=1}^{7}{(a_i-1)}}{\prod_{i=0}^{7}{(n-i)}} \\
&= \frac{7! \times \prod_{i=1}^{7}{a_i} \times (n - 7)}{\prod_{i=0}^{7}{(n-i)}} \\
&= \frac{7! \times \prod_{i=1}^{7}{a_i}}{\prod_{i=0}^{6}{(n-i)}} \\
&= 7! \times\prod_{i=1}^{7}{\frac{a_i}{n-i+1}}
\end{align}
\]
我们惊奇的发现\(2\)到\(8\)组成“七重奏”的概率和\(1\)到\(7\)组成“七重奏”的概率相同。同样的，你也可以用类似的方法证明第\(i\)到\(i+6\)组成“七重奏”的概率同样不变，因此最终答案为：
\[\begin{align}
E(x) &= \sum_{i=7}^{n}{x_i p_i} \\
&= \sum_{i=7}^{n}{1 \times 7! \times \prod_{i=1}^{7}{\frac{a_i}{n-i+1}}} \\
&= 7! \times (n-6) \times \prod_{i=1}^{7}{\frac{a_i}{n-i+1}}
\end{align}
\]
最终复杂度\(O(1)\)