layout: post
title: "向量与矩阵的范数及其在Matlab中的用法"
author: "heleiqiu"
header-style: text
tags: [Matlab, 范数, 矩阵, 向量]
mathjax: true
excerpt: 介绍向量与矩阵的范数及其在Matlab中的用法。主要包括各种常数向量范数，矩阵范数。
介绍向量与矩阵的范数及其在Matlab中的用法。主要包括各种常数向量范数，矩阵范数。
一、常数向量范数
- \(L_0\) 范数
$\Vert x \Vert _0 \overset{def} = $向量中非零元素的个数
其在matlab中的用法：
sum( x(:) ~= 0 )
- \(L_1\) 范数
\(\Vert x \Vert_1\overset{def} = \sum\limits_{i=1}^{m} \vert x_{i}\vert = \vert x_{1}\vert + \cdots +\vert x_{m}\vert\)，即向量元素绝对值之和
其在matlab中的用法：
norm(x, 1)
- \(L_2\) 范数
\(\Vert x \Vert_2=(\vert x_1\vert^2+\cdots+\vert x_m\vert^2)^{1/2}\)，即向量元素绝对值的平方和后开方
其在matlab中的用法：
norm(x, 2)
- \(L_{\infty}\) 范数
- 极大无穷范数
\(\Vert x \Vert_{\infty}= max \{\vert x_1\vert, \cdots,\vert x_m\vert\}\)，即所有向量元素绝对值中的最大值
其在matlab中的用法：
norm(x, inf)
- 极小无穷范数
\(\Vert x \Vert_{\infty}= min \{\vert x_1 \vert, \cdots, \vert x_m\vert\}\)，即所有向量元素绝对值中的最小值
其在matlab中的用法：
norm(x, -inf)
二、矩阵范数
诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。
1. 诱导范数
- \(L_1\) 范数（列和范数）
\(\Vert A \Vert_1= \underset{1\leqslant j\leqslant n}{\mathop{\max }}\sum\limits_{i=1}^{m}\{ \vert a_{ij}\vert \}\)，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
其在matlab中的用法：
norm(A,1)
- \(L_2\) 范数
\(\Vert A \Vert_2=\sqrt{\lambda _{i}}\)，其中 \(\lambda_i\) 为 \(A^{T}A\) 的最大特征值。
其在matlab中的用法：
norm(A,2)
- \(L_{\infty}\) 范数（行和范数）
\(\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{1\leqslant i\leqslant m}{\mathop{\max }}\sum\limits_{j=1}^{n}\{\vert a_{ij}\vert\}\)，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
其在matlab中的用法：
norm(A,inf)
2. "元素形式"范数
- \(L_{0}\) 范数
\(\Vert A \Vert_0\overset{def}=矩阵的非零元素的个数\)
其在matlab中的用法：
sum(sum(A ~= 0))
- \(L_{1}\) 范数
\(\Vert A \Vert_1\overset{def}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert\)，即矩阵中的每个元素绝对值之和
其在matlab中的用法：
sum(sum(abs(A)))
- \(L_{F}\) 范数
\(\Vert A \Vert_F\overset{def}=(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert^2)^{1/2}\)，即矩阵的各个元素平方之和后开方
其在matlab中的用法：
norm(A,fro)
- \(L_{\infty}\) 范数
\(\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{i=1,\cdots,m;\ j=1,\cdots,n}{\mathop{\max }}\{\vert a_{ij}\vert \}\)，即矩阵的各个元素绝对值的最大值
其在matlab中的用法：
max(max(abs(A)))
- 核范数
\(\Vert A \Vert_{*}= \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i\)，\(\lambda_i\) 为 \(A\) 的奇异值，即所有矩阵奇异值之和
其在matlab中的用法：
sum(svd(A))