SPOJ 2878 KNIGHTS - Knights of the Round Table
注：本题大多数网上题解是写的洛谷的链接，但洛谷现在无法做判题操作，提示
Unkwon Error,只好找到了原题，尝试修改代码并不断完善。
洛谷链接
一、前言
有 \(n\) 个人，其中 \(k\) 个人能进行一次会议当且仅当：\(k\)是奇数，这\(k\)个人坐一圈能满足任意相邻两人不相互憎恶。问有多少个人不能参加任何一场会议。
二、思路
首先它是圆桌骑士开会，所以他们开会的样子是一个环，并且避免平票需要只有奇数个人（不能一人开会）。将仇恨关系建图不好做，于是 建立补图，将可以坐在一起的骑士连边，这样形成了一个可能的座位形状,然后去里面找 尽可能多的奇环,输出不被任何一个奇环包括的骑士。
思考过程
- ① 在一张无向图中尝试找出奇数个节点的环，简称奇数环
- ② 学习过\(Tarjan\)算法，算法在执行完后，就生成了多个点双，同时，缩点后的图，就不再有环。
- ③ 原来有环，后来没环，环去了哪里？是去了每个点双中，也就是说，如果我们在缩点过程中，就找出了一堆点双，点双里面是可以有环的，但可能：
- 全是奇数个节点环
- 全是偶数个节点环
- 有奇数个节点环，有偶数个节点环【这个也算是奇数环，下面有证明】
- ④ 在一个图中，找奇环可以用黑白染色法,如果发现矛盾，就是发现奇数环，否则就是没有奇数环
- ⑤ 对于在奇环中的点进行标识，最后从来没有被标识过的点，就是被放弃的人员。
三、相关性质及证明
对于一个点双连通分量，里面若是有一个奇环，那么该点双连通分量里面所有的点都可以被包括在奇环之中
显然，奇环内不光点数是奇数，边数也是奇数。假如一个点双里面存在一个奇环：
那么和这个奇环的连接方式无非两种（显然所有连接方式都可以拆解成这最简单的两种）：
- 有奇数个点的链与它连接
这里用 \(1\) 个点作例子：
我们发现这个点显然与左边的几个点组成了一个大小为 \(5\) 的奇环。
- 有偶数个点的链与它连接
这里用 \(2\) 个点做例子：
显然，这两个红色点和右边的三个黑色点组成了一个大小为 \(5\) 的奇环。
那么各位应该能找到一个规律：对于一条长度为 \(x\) 的链，它与奇环中的 \(a , b\) 两点相连，而在奇环上 \(a,b\) 之间恰好存在一条长度为奇数的路径和一条长度为偶数的路径，假如 \(x\) 是偶数，那么和长度为奇数的路径组合即可得到奇环，否则与长度为偶数的组合。
证毕。
\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 1e6 + 10;
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int g[N][N]; // 记录任意两个节点之间的憎恨关系
int n, m; // n个节点，m个关系,本题不是m条边，因为建的是补图
int color[N]; // 黑白染色法标识的颜色
int st[N]; // 是不是点双中的节点
int res[N]; // 标识数组，出现在奇数环的点双中，就是1，没有出现过就是0
// 二分染色法
int dfs(int u, int fa) {
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (v == fa || !st[v]) continue; // 必须是点双里的点，才能搜索,要不你搜索的就不对啦，看明白这个st数组的意义的吧~
if (color[v] == -1) { // 如果v点未染色
color[v] = color[u] ^ 1; // 反向黑白染色
if (dfs(v, u)) return 1; // 继续探索v节点，如果v节点完成后，发现了冲突，则u也汇报冲突
} else if (color[v] != (color[u] ^ 1)) // 如果已染色，并且，存在染色冲突
return 1; // 报告冲突
}
return 0;
}
// Tarjan算法，求点双
int dfn[N], low[N], stk[N], top, ts;
vector<int> bcc[N];
int bcnt;
void tarjan(int u, int fa) {
dfn[u] = low[u] = ++ts;
stk[++top] = u;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (!dfn[v]) {
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if (low[v] >= dfn[u]) { // 出现点双
// 业务需要,初始化临时变量数组
memset(st, 0, sizeof st); // 一个点双一清空，防止误判
memset(color, -1, sizeof color); // 黑白染色的标识数组也清空
// 利用栈内元素弹出，可以获取此环中有哪些节点，对节点标识已访问，并且计数
int x;
bcnt++;
do {
x = stk[top--];
bcc[bcnt].push_back(x);
st[x] = 1;
} while (x != v); // 将子树出栈
bcc[bcnt].push_back(u); // 把割点/树根也丢到点双里
st[u] = 1; // 将当前点双之中的全部打上标记
color[u] = 0; // u标识为黑色，0：黑，1：白
// 二分图染色
// ① 环中节点数量必须大于等于3
// ② 二分图染色存在冲突=>是奇数环
// ③ 无向图进行黑白染色，必须设置fa参数，防止走回头路
// ④ 枚举每个点双中的节点，标识已节点出现在奇数环中
if (bcc[bcnt].size() >= 3 && dfs(u, -1))
for (int i : bcc[bcnt]) res[i] = 1;
}
} else
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("SP2878.in", "r", stdin);
#endif
while (scanf("%d %d", &n, &m) && m + n) {
memset(g, 0, sizeof g); // 多组测试数据，每次清空憎恨数组
memset(h, -1, sizeof h); // 初始化链式前向星
idx = 0;
memset(dfn, 0, sizeof dfn); // Tarjan算法要测试多轮，清空数组【时间戳数组】
memset(low, 0, sizeof low); // Tarjan算法要测试多轮，清空数组【回溯祖先数组】
memset(res, 0, sizeof res); // 清空是否在奇数环中的标识数组
// 读入m条憎恨关系，注意：不要直接建图！因为最终的摆放方式不是憎恨的相邻摆放，而是不憎恨的相邻摆放！
while (m--) {
int a, b;
scanf("%d %d", &a, &b);
g[a][b] = g[b][a] = 1;
}
// 建立补图
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i + 1; j <= n; j++) // i<j，这样循环次数少，一次干两事~
if (!g[i][j]) add(i, j), add(j, i); // 无向图
// 跑Tarjan算法，缩点，每个点都是一个点双连通分量
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!dfn[i]) tarjan(i, -1); // 可能会不连通，找点双
// 计算未被加入到任何一个奇数环中的人员有多少个
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) ans += (res[i] == 0); // 加上不被点双标记的
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}