第一道：证明\(\sum_{i=2}^n (\frac{1}{2n})^n<\frac{1}{\sqrt{e}(e-1)}\)
\((\frac{1}{2n})^n=e^{n\ln \frac{1}{2n}}<e^{n(\frac{1}{2n})-1}=e^{\frac{1}{2}-n}\)
\(\sum_{i=2}^n (\frac{1}{2n})^n<e^{\frac{1}{2}-2}+...+e^{\frac{1}{2}-n}\)
\(=\frac{1}{e\sqrt e}(1+...+e^{1-n})=\frac{1}{e\sqrt e}\frac{e^{-n}-1}{\frac{1}{e}-1}\)
\(=\frac{1-e^{-n}}{\sqrt e(e-1)}<\frac{1}{\sqrt{e}(e-1)}\)
三道关于数列的不等式
发布时间 2023-10-15 07:19:54作者: celerity1