证明内容：\(\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}>=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}\)
首先介绍一下证明方法：向前向后的数学归纳法
第一步找到一个 单调递增的发散 序列{\(a_n\)}（本文为\(2^{1},2^{2}......\)）
第二步证明若\(n=m\)时正确，则\(n=m-1\)时正确
这个做法的正确性时显然的，每一个\(n\)都可以从它后面的\(a_k\)推过来
下面是证明：
当\(n=2\)时，显然成立（自己去平方）
若\(n=2^{k}\)成立，则：
\(\frac{\sum_{i=1}^{2^{k}}}{2^{k}}=\sqrt[2^{k}]{\prod_{i=1}^{2^{k}} a_i}\)
\(\therefore n=2^{k+1}\)时，\(\frac{\sum_{i=1}^{2^{k+1}}a_i}{2^{k+1}}=\frac{\sum_{i=1}^{2^{k}}a_i}{2^{k+1}}+\frac{\sum_{i=2^{k}+1}^{2^{k+1}}a_i}{2^{k+1}}>=\frac{\sqrt[2^{k}]{\prod_{i=1}^{2^{k}} a_i}}{2}+\frac{\sqrt[2^{k}]{\prod_{i=2^{k}+1}^{2^{k+1}} a_i}}{2}\)
\(>=\sqrt[2]{\sqrt[2^{k}]{\prod_{i=1}^{2^{k}}a_i } \sqrt[2^{k}]{\prod_{i=2^{k}+1}^{2^{k+1}}a_i } }\)
\(=\sqrt[2^{k+1}]{\prod_{i=1}^{2^{k+1}}a_i }\)
\(\therefore n=2^{k+1}\)时成立
若\(n=m\)时成立，则：\(\frac{\sum_{i=1}^{m}a_i }{m}>=\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_i }\)
\(\therefore n=m-1\)时，\(\frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1}= \frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i +\frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1} }{m}>=\sqrt[m]{\sum_{i=1}^{m-1}a_i+\frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1} }=(\sum_{i=1}^{m-1}a_i )^{\frac{1}{m} } \times (\frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1} )^{\frac{1}{m}}\)
\(\therefore (\frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1})^{1}>=(\sum_{i=1}^{m-1}a_i )^{\frac{1}{m} } \times (\frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1} )^{\frac{1}{m}}\)
\(\therefore (\frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1})^{\frac{m-1}{m}}>=(\sum_{i=1}^{m-1}a_i )^{\frac{1}{m} }\)
\(\therefore \frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1}>=(\sum_{i=1}^{m-1}a_i )^{\frac{1}{m-1} }\)
即\(\therefore \frac{\sum_{i=1}^{m-1}a_i }{m-1}>=\sqrt[m-1]{(\sum_{i=1}^{m-1}a_i )}\),得证