原函数存在定理

当f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数
若f(x)在区间上有定义类间断点，则f(x)在区间上没有原函数

上面可以参考函数连续原函数可导

不定积分几个有趣性质

\((\int f(x)dx = f(x))' = (F(x) + c)'\) 常数导数为零
\(d(\int f(x)dx) = f(x)dx 这里用到了微分dy = f'(x)dx => d(\int f(x)dx) = (F(x) + c)'dx = f(x)dx\)
\(\int f'(x)dx = f(x)+C\)
\(\int df(x) = \int f'(x)dx = f(x) +C\)
\(\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
\(\int kf(x)dx = k\int f(x)dx，(k为常数)\)

三种积分方法

第一类换元

这种个人看书就是一种配凑
前置知识，\(u = \alpha(x) = x^2, f(u) = u^2 这里求f'(u)\)

那么带入复合函数导数为内导*外导，\(f'(u) = (u^2)' * u' = 4x^3\)
下面为为什么积分复合积分为内导乘以外导数 f(u) = x^4 \(f'(u) =4x^3\)

end

有了前面的知识，那么\(\int {f(x)}du = F(u) + C,u = \varphi(x)\)存在连续导数前面的知识，导数连续，原函数存在
\(\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f[\varphi(x)]d\varphi(x) = F[\varphi(x)] + C\) 这里\(\varphi'(x)dx = d\varphi(x)\)其实用到是微分方法

总结：为什么难做，首先是这需要大量的公式，和平时做题的积累，才能准确看出是否可以配凑