题目
题目描述
小贝喜欢玩卡牌游戏。某个游戏体系中共有N种卡牌，其中M种是稀有的。小贝每次和电脑对决获胜之后都会有一个抽卡机会，这时系统会随机从N种卡中选择一张给小贝。普通卡可能多次出现，而稀有卡牌不会被重复抽到。小贝希望收集到K种稀有卡牌，她想知道期望需要多少次获胜才能实现这个目标。
输入描述
数据有多组，第一行一个整数T表示数据组数。
每组数据一行，三个整数N,M,K .
输出描述
对于每组数据，输出形如"Case #x: y"，其中 x 为这组数据的编号（从1开始），y 为这组数据的答案。答案的绝对误差或相对误差在10-6以内都认为是正确的。
示例1
输入
2
5 2 1
40 9 5
输出
Case #1: 2.5
Case #2: 28.1146825397
备注
1 ≤ T ≤ 100
1 ≤ N ≤ 10^5
1 ≤ M ≤ N
1 ≤ K ≤ M
题解
知识点：概率dp。
设 \(f_i\) 表示已经抽到 \(i\) 张稀有牌后还需要抽几次的期望。有转移方程：
\[f_i = (f_{i+1} + 1) \cdot \frac{m-i}{n-i} + (f_i + 1) \cdot \frac{n-m}{n-i}
\]
稍作变形：
\[f_i = f_{i+1} + \dfrac{n-i}{m-i}
\]
所以 \(\displaystyle f_0 = \sum_{i = 0}^{k-1} \dfrac{n-i}{m-i}\) 。
时间复杂度 \(O(k)\)
空间复杂度 \(O(1)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
bool solve() {
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
double ans = 0;
for (int i = k - 1;i >= 0;i--) ans += (double)(n - i) / (m - i);
cout << fixed << setprecision(9) << ans << '\n';
return true;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int t = 1;
cin >> t;
for (int i = 1;i <= t;i++) {
cout << "Case #" << i << ": ";
if (!solve()) cout << -1 << '\n';
}
return 0;
}