前言：
代数系统这部分内容，重点在二元运算（二元运算的基本定义及相关的性质），和群和子群（判断一个代数系统是否是群，群的次幂计算，群中元素的阶）。
二元运算：
1.什么是二元运算：
设S 为集合，函数 f : S×S→S 就称为 S 上的一个二元运算。
S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一．
验证一个运算是不是集合上的二元运算：封闭(参加运算的是 S 中的任意两个元素，并且最后运算结果仍为 S 中的一个元素)。
（参与的是每一个，最后结果不一定取遍所有元素）
（一般只要找到一个反例即可，找出运算后超出集合范围的情况）
2.二元运算的基本性质：
以下提到的几个定律跟数学中学到的是相似的，可以类比理解。
①交换律：
设 是非空集合 A 上的二元运算，如果对于任意 a, bA，都有 ab ＝ ba，则称运
算在 A上是可交换的（commutative），或称运算 在 A 上满足交换律；
②结合律：
设 是非空集合A上的二元运算，如果对于任意a, b, cA，都有(ab)c＝a(bc)，则称运算在A上是可结合的(associative)，或称运算在A上满足结合律。此时连续的运算之间不必加括号；
③幂等律：
设是非空集合 A 上的二元运算，如果对于任意 aA，都有aa＝a，则称运
算在 A 上是等幂的（idempotent），或称运算在 A 上满足幂等律；
满足aa＝a的元素a称作幂等元，满足幂等律的S集合所有元素都为幂等元，有幂等元不一定满足幂等律；
④分配律：
设 ，* 是非空集合 A 上的二元运算，如果对于任意 a, b, cA，都有a(b*c) = (ab)*(ac)，及
(bc)*a = (b*a)(c*a)，则称二元运算对于*在 A 上具有分配性（distributive），或称运算对于*
在 A 上满足分配律（括号外运算对括号内运算符合分配律）
注意：分配律要指明谁对谁是可分配的，不能笼统的讲适合分配律；
⑤吸收律：
举例：
3.二元运算的特殊元素：
单位元和零元存在则唯一，而逆元与元素有关
①单位元（幺元）：
设◦为S上的二元运算, 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有el◦x = x (或 x◦er = x)， 则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
与其他元素运算得到的是其他元素本身。
②零元：
如果存在 l (或 r)∈S，使得对任意 x∈S 都有 l ◦x = l (或 x◦ r = r)， 则称 l (或 r)是S 中关于◦运算的左(或右)零元. 若 ∈S 关于◦运算既是左零元又是右零元，则称为S上关 于运算◦的零元.
与其他元素运算还是自己。
③逆元：
例如：
代数系统：
1.代数系统的定义：
非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…, fk组成 的系统称为代数系统, 简称代数，记做<S, f1, f2, …, fk>.
2.代数系统的构成：
集合（也叫载体，规定了参与运算的元素） 运算（这里只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）
3.子代数：
设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，B是S的非空子 集，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代 数常数，则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代 数. 有时将子代数系统简记为B.
群与子群：
1.群的定义：
(1) 设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.
(2) 设V=<S,∘>是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=<S,∘,e>.
(3) 设V=<S,∘>是独异点，eS关于∘运算的单位元，若 任意a属于S，a的逆也属于S，则称V是群. 通常将群记作G.
群是封闭的，每个元素都有逆元
2.群的相关术语：
3.元素的阶：
定义： 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.
4.子群：
