悬线法

引入

我们在做题的时候经常会遇到一些求最大子矩形的问题，而这个时候就有人用单调栈来解决，实际上我们可以用一种名为悬线法的更易于理解的方法来求解。

思想

悬线法，我也不知道为啥叫这个名字。

我们对于一个 \(n\times m\) 的矩阵，我们如果想要找到他最大的子矩形，我们首先需要知道哪里能扩展，哪里不能扩展，而我们在求解的时候，一行一行的进行求解。

我们维护三个数组 \(l,r,up\) 分别表示当前点能向左扩展到哪个点，当前点能向右扩展到哪个点，以及向上能够扩展到哪个点。

我们在处理当前点的时候，无非就三种情况：

1. 当前点到了边界，也就是 \(l[j] = 1,r[j] = m\) 的情况，此时不能继续扩展。

2. 如果当前点的 \(up[j] > up[l[j] - 1]\) 那么是不可以继续扩展的。

3. 如果当前点的 \(up[j]\le up[l[j]-1]\) 那么我们可以继续扩展，我们扩展的时候可以发现，如果当前点可以扩展到 \(l[j] - 1\) 的话，我们是可以扩展到 \(l[l[j]-1]\) 的，所以我们可以直接替换掉的。

一般的代码有两种写法，一种是都开二维数组的，我不推荐使用这种，因为只要空间一紧或者想试试 \(n^2\) 过百万会寄，一般都是用第二种用一维数组的。

例题：

[POI2002] 最大的园地 - 洛谷

很板的题目，直接来看代码：

其实我们可以在输入的时候直接做，但是我觉得看上去不美观。

我们在扩展的时候其实是有时候需要判断当前点能否扩展，后面有的题目会涉及到。

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define N 2010

using namespace std;

int n, m, a[N][N], l[N], r[N], up[N], ans;

signed main()
{
    cin >> n, m = n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> a[i][j];
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++) l[j] = r[j] = j;
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            if(a[i][j] == 0) up[j] ++;
            else up[j] = 0; 
        }
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            while(l[j] > 1 && up[l[j] - 1] >= up[j]) l[j] = l[l[j] - 1];
        for(int j = m; j >= 1; j --)
            while(r[j] < m && up[r[j] + 1] >= up[j]) r[j] = r[r[j] + 1];
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            ans = max((r[j] - l[j] + 1) * up[j], ans);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

玉蟾宫 - 洛谷

和上面题目的区别就是 \(01\) 换成了 \(\text{EF}\)，最后结果要乘三。

#include <bits/stdc++.h>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long
#define N 1010

using namespace std;

int n, m, ans, a[N][N], up[N][N], lf[N][N], rf[N][N];

signed main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            char s;
            cin >> s;
            a[i][j] = (s == 'F');
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            if(a[i][j])
            {
                up[i][j] = up[i - 1][j] + 1;
                lf[i][j] = lf[i][j - 1] + 1;
            }
            if(a[i][m - j + 1]) rf[i][m - j + 1] = rf[i][m - j + 2] + 1;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            if(a[i][j] && a[i - 1][j])
            {
                lf[i][j] = min(lf[i][j], lf[i - 1][j]);
                rf[i][j] = min(rf[i][j], rf[i - 1][j]);
            }
            ans = max(ans, (rf[i][j] + lf[i][j] - 1) * up[i][j]);
        }
    }
    cout << ans * 3 << endl;
    return 0;
}

HISTOGRA - Largest Rectangle in a Histogram - 洛谷

这个题目看起来需要用单调栈，但实际上悬线法也可以，这个的区别就是我们还是和前面一样，只不过把每组数据看作是一行，\(up\) 是一开始给我们的来处理就好了。

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define N 1000100

using namespace std;

int n, a[N], l[N], r[N], ans;

signed main()
{
    while(1)
    {
        cin >> n;
        if(n == 0) break;
        ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            cin >> a[i], l[i] = r[i] = i;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            while(l[i] > 1 && a[i] <= a[l[i] - 1]) l[i] = l[l[i] - 1];
        for(int i = n; i >= 1; i --)
            while(r[i] < n && a[i] <= a[r[i] + 1]) r[i] = r[r[i] + 1];
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            ans = max(ans, (r[i] - l[i] + 1) * a[i]);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

感觉不错 Feel Good - 洛谷

这个题目和上面的思路一样，也是可以看作是求最大子矩形的面积。

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define N 100100

using namespace std;

int n, a[N], l[N], r[N], sum[N], ans, ansl, ansr, flag = 1;

signed main()
{
    while(cin >> n)
    {
        if(n == EOF) break;
        memset(a, -1, sizeof a);
        if(flag == 0) cout << endl;
        else flag = 0;
        ans = 0;
        ansl = ansr = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
        {
            cin >> a[i];
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
            l[i] = r[i] = i;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            while(a[i] <= a[l[i] - 1]) l[i] = l[l[i] - 1];
        for(int i = n; i >= 1; i --)
            while(a[i] <= a[r[i] + 1]) r[i] = r[r[i] + 1];
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            if((sum[r[i]] - sum[l[i] - 1]) * a[i] > ans)
                ans = (sum[r[i]] - sum[l[i] - 1]) * a[i], ansl = l[i], ansr = r[i];
        cout << ans << endl;
        cout << ansl << " " << ansr << endl;
    }
    return 0;
}

奶牛浴场 - 洛谷

区别是我们的边界上可以有障碍。

我们看数据范围就知道我们直接枚举点会炸，而我们知道如果要是找最大子矩形的话，肯定是边界上带障碍更优，所以我们可以直接枚举所有障碍的点来一个一个计算，我们首先要把四个边界点给加进去，然后分两种情况讨论：

1. 当前障碍 \(i\) 横坐标比 \(j\) 大，那么我们就要更新左边界。

2. 当前障碍 \(i\) 横坐标比 \(j\) 小，那么我们就要更新右边界。

code:

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define N 100010

using namespace std;

struct sb{int x, y;}e[N];
int L, W, n, x, y, ans;

inline int cmp1(sb x, sb y){return x.x < y.x || x.x == y.x && x.y < y.y;}

inline int cmp2(sb x, sb y){return x.y < y.y || x.y == y.y && x.x < y.x;}

inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){f=ch!='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return f?x:-x;}

signed main()
{
	L = read(); W = read(); n = read(); 
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
    	x = read(), y = read(); 
    	e[i] = (sb){x, y};//障碍物 
	}
    e[++ n] = (sb){0, 0};//边界障碍物 
	e[++ n] = (sb){0, W};
	e[++ n] = (sb){L, 0};
	e[++ n] = (sb){L, W};
    sort(e + 1, e + n + 1, cmp1);//按x从小到大排序 
    for(int i = 1; i <= n; i ++)//遍历所有障碍 
	{
        int le = 0, ri = W, cnt = i;
        while(e[i].x == e[cnt].x) cnt ++;//是同一行就一直加 
        int j = cnt;//取出cnt 
        while(j <= n)//只要不超过最大个数 
		{
            ans = max(ans, (e[j].x - e[i].x) * (ri - le));//计算当前两个障碍的的面积 
            if(e[j].y <= e[i].y) le = max(le, e[j].y);//如果要是当前的第二个点的列比第一个的小，就更新le 
            else ri = min(ri, e[j].y);//否则就更新x
            j ++;//往后找 
        }
    }
	sort(e + 1, e + n + 1, cmp2);//竖着找、 
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
        int le = 0, ri = L, cnt = i;
        while(e[i].y == e[cnt].y) cnt ++;
        int j = cnt;
        while(j <= n)
		{
            ans = max(ans, (e[j].y - e[i].y) * (ri - le));
            if(e[j].x <= e[i].x) le = max(le, e[j].x);
            else ri = min(ri, e[j].x);
            j ++;
        }
    }
	cout << ans << endl;
    return 0;
}

[ZJOI2007] 棋盘制作 - 洛谷

这个题目其实也不难。

我们在处理 \(up\) 的时候，我们可以发现能扩展的条件是和上面的不一样，所以我们可以用异或来达到这个操作。

我们在扩展左右边界的时候也是同理，我们不能只判断 \(up\) 和边界了，我们需要同时看一下能不能向两边扩展才行。

code:

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define N 2100

using namespace std;

int n, m, a[N][N], l[N], r[N], up[N], ans1, ans2;

signed main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			cin >> a[i][j];
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			l[j] = r[j] = j;
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
		{
			if(a[i][j] ^ a[i - 1][j]) up[j] ++;
			else up[j] = 1;
		}
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			while(l[j] != 1 && a[i][l[j]] ^ a[i][l[j] - 1] && up[l[j] - 1] >= up[j]) l[j] = l[l[j] - 1];
		for(int j = m; j >= 1; j --)
			while(r[j] != m && a[i][r[j]] ^ a[i][r[j] + 1] && up[r[j] + 1] >= up[j])r[j] = r[r[j] + 1];
//		cout << "cao" << endl;
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
		{
			int xx = min(r[j] - l[j] + 1, up[j]);
			ans1 = max(ans1, xx * xx);
			ans2 = max(ans2, (r[j] - l[j] + 1) * up[j]);
		}
	}
	cout << ans1 << endl << ans2 << endl;
	return 0;
}

参考自 OI Wiki。

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