\[\def\dif{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\]
首先，我们知道泰勒公式
\[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(n)}(x_{0})}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)
\]
将 \(f(x)=e^x\) 在 \(x=0\) 处展开可以得到
\[e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots
\]
截取前两项可以得到
\[\begin{equation}\label{ineq1}
e^x \geq x+1
\end{equation}
\]
此即狭义上的切线放缩。
类似地，截取前三项可以得到
\[\begin{equation}\label{ineq2}
e^x \geq \frac{1}{2}x^2+x+1, x\geq0
\end{equation}
\]
将 \(f(x)=e^x\) 在 \(x=1\) 处展开并截取前几项可以得到
\[\begin{gather}\label{ineq3}
e^x \geq ex \\\label{ineq4}
e^x \geq ex+\frac{e}{2}(x-1)^2, x\geq1
\end{gather}
\]
对于 \(\ln(x+1)\)， \(\sin x\)， \(\cos x\)，我们可以通过类似操作获得
\[\begin{gather}\label{ineq5}
\ln(x+1) \leq x \\\label{ineq6}
x \geq \sin x \geq x-\frac{1}{6}x^3, x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\\label{ineq7}
\cos x \geq 1-\frac{1}{2}x^2, x\in[0,\frac{\pi}{2}]
\end{gather}\]
根据现有不等式，经过代换可以得到新的不等式。
将 \(\ref{ineq6}\) 中 \(x\) 换为 \(x-1\) 有
\[\begin{equation}\label{ineq8}
x-1 \geq \ln x
\end{equation}
\]
将 \(\ref{ineq8}\) 中 \(x\) 换为 \(\dfrac{1}{x}\) 有
\[\begin{equation}\label{ineq9}
\ln x \geq 1 - \frac{1}{x}
\end{equation}
\]
将 \(\ref{ineq3}\) 中 \(x\) 换为 \(\dfrac{x}{e}\) 并取对数
\[\begin{equation}\label{ineq10}
\frac{x}{e} \geq \ln x
\end{equation}
\]
此外，利用定积分的保号性也可以得到新的不等式。
在 \(\ref{ineq9}\) 两边同时积分
\[\int_1^x \ln t \dif t \geq \int_1^x (1-\frac{1}{t}) \dif t
\]
结果可以得到
\[\begin{equation}\label{ineq11}
\ln x \geq \frac{2(x-1)}{x+1}, x\geq 1
\end{equation}
\]
依据事实 \(\dfrac{2}{x} < 1+\dfrac{1}{x^2}\)，两边同时积分得到
\[\begin{equation}\label{ineq12}
\ln x \leq \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}), x\geq1
\end{equation}
\]
值得说明的是，\(\ref{ineq11}\) 与 \(\ref{ineq12}\) 与 \(ALG\) 不等式是等价的。
用 \(\sqrt{x}\) 代换 \(x\) 可以简单地加强
\[\begin{gather}\label{ineq13}
\ln x \geq \frac{4(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+1}, x\geq1 \\\label{ineq14}
\ln x \leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}
\end{gather}
\]
我们使用泰勒公式建立不等式时实质上是用多项式对函数进行拟合。除此之外，我们也可以用分式，或者同时用多项式和分式对函数进行拟合，得到更精确的不等式，此即帕德逼近和洛朗级数，此处不展开讲。