Update on 2022.7.8

Betty 定理：证明对于无理数 \(a,b\)，且满足 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)，那么数列 \(\{ \lfloor an\rfloor \},\{ \lfloor bn\rfloor \}\) 为正整数集的划分，其中 \(n\) 取正整数。
证明：设集合 \(A=\{ an \},B=\{ bn \},n\in \N^{+}\)。用反证法，假设存在一个 \(k\) 满足 \(k\in A,k\in B\) 则有 \(k<ax<k+1\Rightarrow \frac{x}{k+1}<\frac{1}{a}<\frac{x}{k}\)，同理 \(\frac{y}{k+1}<\frac{1}{b}<\frac{y}{k}\)。所以我们有：\(\frac{x+y}{k+1}<1<\frac{x+y}{k}\Rightarrow k<x+y<k+1\)，而 \(x,y,k\) 都是整数，矛盾。

假设存在一个整数 \(k\) 满足 \(k\not\in A,k\not\in B\)，则一定存在 \(x\) 满足：\(\lfloor ax\rfloor <k<\lfloor a(x+1)\rfloor\Rightarrow ax<k<a(x+1)-1\) 对于前半个不等式，可以得到 \(\frac{x}{k}<\frac{1}{a}\)，对于后面半个可以得到：\(\frac{1}{a}<\frac{x+1}{k+1}\)，所以我们有 \(\frac{x}{k}<\frac{1}{a}<\frac{x+1}{k+1}\)，同理我们有：\(\frac{y}{k}<\frac{1}{b}<\frac{y+1}{k+1}\)，进一步，我们得到：\(\frac{x+y}{k}<1<\frac{x+y+2}{k+1}\Rightarrow x+y<k<k+1<x+y+2\)，而 \((x+y,x+y+2)\) 这个区间中只可能有一个整数，矛盾。

\(\text{Q.E.D}\)

Update on 2022.7.19

坐标系变换公式：设我们把坐标轴逆时针旋转 \(45\) 度。

\[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \]
证明只需要借助复平面上复数相乘模长相乘幅角相加来得到。