一元函数积分学
原函数与不定积分的概念
原函数：设f(x)在区间I上有定义，F(x)是I上的一个可导函数，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。
不定积分：设f(x)在区间I上有定义，F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么，对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)在区间I上的一个原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+C。
导数与不定积分的关系
\[1. \frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)或d\int f(x)dx=f(x)dx \\
2. \int dF(x)=F(x)+C或\int F'(x)dx=F(x)+C
\]
牛顿-莱布尼茨公式
设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
\]
基本积分表
\[\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C(\mu\neq-1) \\
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C \\
\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\neq1) \\
\int \sin xdx=-\cos x+C \\
\int \cos xdx=\sin x+C \\
\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C \\
\int \csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x|+C \\
\int \sec x \tan xdx=\sec x+C \\
\int \csc x \cot xdx=-\csc x+C \\
\int \frac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C \\
\int \frac{dx}{\sin^2x}=-\cot x+C \\
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C \\
\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\
\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C \\
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C \\
\]
求不定积分
直接积分法
化归即向已知积分表中的积分归化，使之成为已知积分表中的积分。
（1）整式化归
【例 1】求\(\int \frac{dx}{x^2+2x+5}\)
解：\(\int \frac{dx}{x^2+2x+5}=\int \frac{dx}{(x+1)^2+4}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x+1)}{(\frac{x+1}{2})^2+1}=\frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2}+C\)
（2）三角化归
【例 2】求\(\int \frac{dx}{\sin x+\cos x}\)
解：\(\int \frac{dx}{\sin x+\cos x}=\int \frac{dx}{\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(x+\frac{\pi}{4})}{\sin(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln|\tan(x+\frac{\pi}{4})|+C\)
（3）分式化归
1）拼凑拆项
【例 3】求\(\int \frac{x^4}{x^2+1}dx\)
解：\(\int \frac{x^4}{x^2+1}dx=\int (x^2-1+\frac{1}{x^2+1})dx=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C\)
2）一般有理函数拆项
分子分母都是多项式的有理函数是重点关注对象。
它的拆项分两步：
第一步：若有理函数为假分数（分子次数大于等于分母次数），则先用多项式除法化为带余数的真分数。
多项式除法是一种将一个多项式除以另一个多项式的运算方法，类似于整数除法。它用于将一个多项式表示为另一个多项式的乘积和余数的形式。多项式除法的基本原理是将被除式与除式进行长除或短除操作，逐步消去最高次项，直到不能再继续消去为止。
下面是多项式除法的基本步骤：
- 确定被除式和除式的次数：将被除式和除式按照次数从高到低排列，并确定它们的次数。
- 比较被除式和除式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的最高次项。
- 乘法：将除式乘以商的最高次项，得到一个新的多项式。
- 减法：将被除式减去上一步得到的新的多项式，得到一个新的被除式。
- 重复上述步骤：重复步骤2到步骤4，直到新的被除式的次数小于除式的次数为止。
- 结束：当无法再继续进行下一步时，得到的商就是多项式除法的商，新的被除式就是多项式除法的余数。
多项式除法的结果可以表示为以下形式：
被除式 = 除式 × 商 + 余数
其中，商是整数多项式，余数是次数更低的多项式，且余数的次数小于除式的次数。
一个详细的多项式除法的例子：
\[\begin{aligned}
&\frac{2x^3+3x^2-5x+1}{x^2+2x+1} \\
=&\frac{2x^3+4x^2+2x}{x^2+2x+1}+\frac{-x^2-7x+1}{x^2+2x+1} \\
=&2x+\frac{-x^2-7x+1}{x^2+2x+1} \\
=&2x+\frac{-x^2-2x-1}{x^2+2x+1}+\frac{-5x+2}{x^2+2x+1} \\
?=&2x-1+\frac{-5x+2}{x^2+2x+1} 到这一步，第一步结束 \\
=&2x-1+\frac{-5x+2}{(x+1)^2} \\
=&2x-1+\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2} \\
=&2x-1+\frac{A(x+1)+B}{(x+1)^2} \\
=&2x-1+\frac{(A+B)x+A}{(x+1)^2} \\
明显，&A+B=-5, A=2 \\
解得，&A=2, B=-7 \\
?=&2x-1+\frac{2}{x+1}-\frac{7}{(x+1)^2} 到这一步，第二步结束 \\
\end{aligned}
\]
其中，\(2x-1\)是商，\(\frac{-5x+2}{x^2+2x+1}\)是余数。
第二步：将余数部分分式化为部分分式之和。
先将分母进行因式分解，彻底分解的因式有以下几种可能：
- 一次因式：\((x+a)\)，则部分分式包含\(\frac{A}{x+a}\)一项；
- 重根一次因式：\((x+a)^n\)，则部分分式包含\(\frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2}+\cdots+\frac{A_n}{(x+a)^n}\) n项；
- 二次因式：\((x^2+bx+c)\)，则部分分式包含\(\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}\)一项；
- 重根二次因式：\((x^2+bx+c)^n\)，则部分分式包含\(\frac{A_1x+B_1}{x^2+bx+c}+\frac{A_2x+B_2}{(x^2+bx+c)^2}+\cdots+\frac{A_nx+B_n}{(x^2+bx+c)^n}\) n项。
凑微分法
凑微分法是一种微分运算的方法，它的基本思想是将被积函数中的某一部分凑成一个微分，然后再对凑成的微分进行积分。
凑微分法是为了解决被积函数是复合函数的情况。
凑微分法的一般形式：
\[\int f(u(x)) u'(x) \mathrm{d} x = \int f(u(x)) \mathrm{d} u(x)
\]
（1）系数配元
【例 4】\(\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \mathrm{d} x\)
解：
\[\begin{aligned}
\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \mathrm{d} x &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \mathrm{d} x \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \mathrm{d} u \\
&= \frac{1}{2} \arcsin u + C \\
&= \frac{1}{2} \arcsin \frac{x}{2} + C
\end{aligned}
\]
【例 5】\(\int \frac{1}{\sqrt{4-x}} \mathrm{d} x\)
解：
\[\begin{aligned}
\int \frac{1}{\sqrt{4-x}} \mathrm{d} x
&= - \int (4-x)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d} (4-x) \\
&= -2(4-x)^{\frac{1}{2}} + C \\
&= -2 \sqrt{4-x} + C
\end{aligned}
\]
（2）因式配元
【例 6】\(\int_{e}^{+ \infty} \frac{dx}{x ln^2 x}\)
解：
\[\begin{aligned}
\int_{e}^{+ \infty} \frac{dx}{x ln^2 x}
&= \int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{ln^2 x} \mathrm{d} ln x \\
&= \int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{ln^2 x} \mathrm{d} u \\
&= \int_{e}^{+ \infty} u^{-2} \mathrm{d} u \\
&= - \frac{1}{u} \bigg|_{e}^{+ \infty} \\
&= - \frac{1}{ln x} \bigg|_{e}^{+ \infty} \\
&= - \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{ln x} + 1 \\
&= 1
\end{aligned}
\]
【例 7】\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^3 x \mathrm{d} x\)
解：
\[\begin{aligned}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^3 x \mathrm{d} x
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos ^2 x \mathrm{d} x \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x \mathrm{d} \sin x \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin ^2 x) \mathrm{d} \sin x \\
&= [sinx - \frac{1}{3} sin^3 x]\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= 1 - \frac{1}{3} \\
&= \frac{2}{3}
\end{aligned}
\]
有公式
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x \mathrm{d} x = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}，n 是正偶数，\\
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x \mathrm{d} x = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1，n 是大于1的奇数。
\]
（3）拆项配元
【例 8】\(\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} x\)
解：
\[\begin{aligned}
\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} x
&= \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} x \mathrm{d} x \\
&= \int \frac{- x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} (1-x^2) \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{1 - x^2 - 1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} (1-x^2) \\
&= \frac{1}{2} \int (\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) \mathrm{d} (1-x^2) \\
&= \frac{1}{2} (\frac{2}{3} (1-x^2)^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{1-x^2}) + C \\
&= \frac{1}{3} (1-x^2)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{1-x^2} + C
\end{aligned}
\]
【例 9】\(\int \frac{dx}{1+ sinx}\)
解：
法一：
\[\begin{aligned}
\int \frac{dx}{1+ sinx}
&= \int \frac{1 - sinx}{1 - sin^2 x} \mathrm{d} x \\
&= \int \frac{1 - sinx}{cos^2 x} \mathrm{d} x \\
&= \int \frac{1}{cos^2 x} \mathrm{d} x - \int \frac{sinx}{cos^2 x} \mathrm{d} x \\
&= \int sec^2 x \mathrm{d} x - \int sec x tan x \mathrm{d} x \\
&= tan x - sec x + C
\end{aligned}
\]
法二（万能公式）：
\[\begin{aligned}
sinx &= \frac{2 tan \frac{x}{2}}{1 + tan^2 \frac{x}{2}} \\
cosx &= \frac{1 - tan^2 \frac{x}{2}}{1 + tan^2 \frac{x}{2}} \\
令 t = tan \frac{x}{2}，&则 x = 2 arctan t \\
dx &= \frac{2}{1 + t^2} dt \\
\int \frac{dx}{1+ sinx}
&= \int \frac{\frac{2}{1 + t^2}}{1 + \frac{2t}{1 + t^2}} dt \\
&= \int \frac{2}{1 + 2 t + t^2} dt \\
&= \int \frac{2}{(t + 1)^2 } dt \\
&= - \frac{2}{t + 1} + C \\
&= - \frac{2}{tan \frac{x}{2} + 1} + C \\
\end{aligned}
\]
更多三角函数公式请参考此文章
换元积分法
（1）根式换元
【例 10】\(\int_{1}^{4096} \frac{dx}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x}}\)
解：
\[\begin{aligned}
令 \sqrt[12]{x} &= t \\
x &= t^{12} \\
dx &= 12 t^{11} dt \\
\int_{1}^{4096} \frac{dx}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x}}
&= \int_{1}^{2} \frac{12 t^{11} dt}{t^3 + t^4} \\
&= \int_{1}^{2} \frac{12 t^8 dt}{1 + t} \\
使用多项式除法，得 \\
&= 12 \int_{1}^{2} (t^7 - t^6 + t^5 - t^4 + t^3 - t^2 + t - 1) dt \\
&= 12 (\frac{1}{8} t^8 - \frac{1}{7} t^7 + \frac{1}{6} t^6 - \frac{1}{5} t^5 + \frac{1}{4} t^4 - \frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{2} t^2 - t) \bigg|_{1}^{2} \\
\end{aligned}
\]
【例 11】\(\int \frac{dx}{1 + \sqrt{e^x-1}}\)
解：
\[\begin{aligned}
令 \sqrt{e^x-1} &= t \\
e^x &= t^2 + 1 \\
x &= ln(t^2 + 1) \\
dx &= \frac{2t}{t^2 + 1} dt \\
\int \frac{dx}{1 + \sqrt{e^x-1}}
&= \int \frac{\frac{2t}{t^2 + 1} dt}{1 + t} \\
&= \int \frac{2t dt}{(t + 1)(t^2 + 1)} \\
使用部分分式分解，得 \\
\int \frac{2t dt}{(t + 1)(t^2 + 1)} &= \int (\frac{A}{t + 1} + \frac{Bt + C}{t^2 + 1}) dt \\
2t &= A(t^2 + 1) + (Bt + C)(t + 1) \\
&= (A + B)t^2 + ( B + C)t + (A + C) \\
&\begin{cases}
A + B = 0 \\
B + C = 2 \\
A + C = 0
\end{cases} \\
&\begin{cases}
A = -1 \\
B = 1 \\
C = 1
\end{cases} \\
\int \frac{2t dt}{(t + 1)(t^2 + 1)} &= \int (\frac{-1}{t + 1} + \frac{t + 1}{t^2 + 1}) dt \\
&= -ln(t + 1) + \frac{1}{2} ln(t^2 + 1) + arctan t + C \\
&= -ln(\sqrt{e^x-1} + 1) + \frac{1}{2} + arctan \sqrt{e^x-1} + C \\
\end{aligned}
\]
（2）三角换元
【例 12】\(\int \sqrt{3 - 2 x - x^2} dx\)
解：
\[\begin{aligned}
3-2x-x^2 &= 4 - (x + 1)^2 \\
令 x + 1 &= 2 sin t （- \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}）\\
x &= 2 sin t - 1 \\
dx &= 2 cos t dt \\
\int \sqrt{3 - 2 x - x^2} dx
&= \int \sqrt{4 - (x + 1)^2} dx \\
&= \int \sqrt{4 - (2 sin t)^2} 2 cos t dt \\
&= \int 4 cos^2 t dt \\
&= \int 2 (1 + cos 2t) dt \\
&= 2t + sin 2t + C \\
&= 2arcsin(\frac{x + 1}{2}) + 2 sin t cos t + C \\
&= 2arcsin(\frac{x + 1}{2}) + \frac{x + 1}{2} \sqrt{3-2x-x^2} + C \\
\end{aligned}
\]
（3）倒数代换
【例 13】\(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\)
解：
\[\begin{aligned}
令 \frac{1}{x} &= t \\
x &= \frac{1}{t} \\
dx &= - \frac{1}{t^2} dt \\
\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}
&= \int \frac{- \frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t^2} \sqrt{\frac{1}{t^2} + 1}} \\
&= - \int \frac{t dt}{\sqrt{1 + t^2}} \\
&= - \sqrt{1 + t^2} + C \\
\end{aligned}
\]
分部积分法
【例 14】\(\int x^2 e^x dx\)
解：
\[\begin{aligned}
\int x^2 e^x dx
&= \int x^2 d(e^x) \\
&= x^2 e^x - 2 \int x d(e^x) \\
&= x^2 e^x - 2 (x e^x - \int e^x dx) \\
&= (x^2 - 2x + 2) e^x + C \\
\end{aligned}
\]
分部积分法的由来是对乘积求导的链式法则的逆运算，即：
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dx} (uv) &= u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \\
\int u \frac{dv}{dx} dx &= uv - \int v \frac{du}{dx} dx \\
\end{aligned}
\]
其中，\(u\) 称为被积函数，\(dv\) 称为积分因子，\(v\) 称为积分因子的原函数，\(\frac{du}{dx}\) 称为被积函数的导数，\(\frac{dv}{dx}\) 称为积分因子的导数。
适合做积分因子的原函数的函数按照优先级从高到低依次为：\(e^x, sinx, cosx, ln x, x^a (a \neq -1)\)。
（1）直接分部
【例 15】\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} x sin x dx\)
解：
\[\begin{aligned}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} x sin x dx
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} x d(-cos x) \\
&= - x cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-cos x) dx \\
&= 0 - 0 + sin x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&= 1 \\
\end{aligned}
\]
（2）换元分部
【例 16】\(\int \arcsin \sqrt{x} dx\)
解：
\[\begin{aligned}
令 \sqrt{x} &= t \\
x &= t^2 \\
dx &= 2t \space dt \\
\int \arcsin \sqrt{x} \space dx
&= \int \arcsin t \space 2t \space dt \\
&= \int \arcsin t \space d(t^2) \\
&= t^2 \arcsin t - \int t^2 d(\arcsin t) \\
&= t^2 \arcsin t - \int \frac{t^2}{\sqrt{1 - t^2}} dt \\
&= t^2 \arcsin t - \int \frac{1 - (1 - t^2)}{\sqrt{1 - t^2}} dt \\
&= t^2 \arcsin t - \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} dt + \int \frac{1 - t^2}{\sqrt{1 - t^2}} dt \\
&= t^2 \arcsin t - arcsin t + \int \sqrt{1 - t^2} dt \\
令 t &= sin \theta \\
dt &= cos \theta d \theta \\
\int \sqrt{1 - t^2} dt
&= \int cos^2 \theta d \theta \\
&= \int \frac{1 + cos 2 \theta}{2} d \theta \\
&= \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} sin 2 \theta + C \\
&= \frac{1}{2} arcsin t + \frac{1}{2} t \sqrt{1 - t^2} + C \\
原式 &= t^2 \arcsin t - arcsin t + \frac{1}{2} arcsin t + \frac{1}{2} t \sqrt{1 - t^2} + C \\
&= (t^2 - \frac{1}{2}) \arcsin t + \frac{1}{2} t \sqrt{1 - t^2} + C \\
&= (x - \frac{1}{2}) \arcsin \sqrt{x} + \frac{1}{2} \sqrt{x(1 - x)} + C \\
\end{aligned}
\]
（3）循环分部
【例】计算不定积分 \(\int \frac{x \space e^{\arctan x}}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} dx\)
解：
\[\begin{aligned}
令 \arctan x &= t \\
x &= \tan t \\
dx &= \sec^2 t \space dt \\
\int \frac{x \space e^{\arctan x}}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} dx
&= \int \frac{\tan t \space e^t}{(1 + \tan^2 t)^{\frac{3}{2}}} \sec ^2 t \space dt \\
&= \int \frac{\tan t \space e^t}{\sec^3 t} \sec^2 t \space dt \\
&= \int \frac {\tan t \space e^t}{\sec t} dt \\
*&= \int \sin t \space e^t dt \\
&= \int \sin t \space d(e^t) \\
&= \sin t \space e^t - \int e^t d(\sin t) \\
&= \sin t \space e^t - \int \cos t d(e^t) \\
&= \sin t \space e^t - \cos t \space e^t + \int e^t d(\cos t) \\
*&= \sin t \space e^t - \cos t \space e^t - \int e^t \space \sin t dt \\
由*标记的两处可得：\\
2 \int \frac{x \space e^{\arctan x}}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} dx
&= \sin t \space e^t - \cos t \space e^t \\
&= e^{\arctan x} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}) \\
原式 &= \frac{1}{2} e^{\arctan x} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}) + C \\
&= \frac{1}{2} e^{\arctan x} \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} + C \\
\end{aligned}
\]
（4）拆项分部
【例】\(\int \frac{\ln x - 1}{x^2} dx\)
解：
\[\begin{aligned}
\int \frac{\ln x - 1}{x^2} dx
&= \int \frac{\ln x}{x^2} dx - \int \frac{1}{x^2} dx? \\
&= \int \ln x \space d(-\frac{1}{x}) - \int \frac{1}{x^2} dx? \\
&= - \frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x} d(\ln x) - \int \frac{1}{x^2} dx \\
&= - \frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx - \int \frac{1}{x^2} dx \\
&= - \frac{\ln x}{x} + C \\
\end{aligned}
\]
（5）分部积分法的逆运算
分部积分法的逆运算是指对整个被积函数凑微分，使之成为分部积分法的形式。
【例】\(\int \frac{(1-x)f(x)-xf'(x)}{e^xf^2(x)} dx\)
解：
\[\begin{aligned}
\int \frac{(1-x)f(x)-xf'(x)}{e^xf^2(x)} dx
&= \int \left [ \frac{f(x)-xf'(x)}{e^xf^2(x)}- \frac{xf(x)}{e^xf^2(x)} \right ] dx \\
&= \int \left \{ e^{-x} \left [ \frac{x}{f(x)} \right ]' + (e^{-x})' \frac{x}{f(x)} \right \} dx \\
&= e^{-x} \frac{x}{f(x)} + C \\
\end{aligned}
\]
定积分
定积分定义：设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有定义，将区间 \([a,b]\) 等分成 \(n\) 个小区间，每个小区间的长度为 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)，在每个小区间 \([x_{i-1},x_i]\) 取一点 \(\xi_i\)，作和 \(\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x\)，如果当 \(n \to \infty\) 时，这个和的极限存在，则称 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上可积，这个极限值称为 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分，记为 \(\int_a^b f(x) dx\)，即 \(\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x\)
定积分的几何意义：设 \(f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的连续函数，\(f(x) \geq 0\)，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 表示曲线 \(y=f(x)\)，\(x\) 轴，直线 \(x=a\)，\(x=b\) 所围成的面积。
定积分的物理意义：设 \(f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的连续函数，\(f(x) \geq 0\)，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 表示在 \([a,b]\) 上，\(f(x)\) 的图形与 \(x\) 轴之间的面积，如果 \(f(x)\) 表示速度，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 表示在 \([a,b]\) 上，\(f(x)\) 的图形与 \(x\) 轴之间的路程。
定积分的性质：
- \(\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx\)
- 可加性： \(\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx\)
- \(\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt\)
- \(\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx\)
- \(\int_a^b kf(x) dx = k \int_a^b f(x) dx\)
- 对称性：\(\int_{-a}^a f(x) dx = \begin{cases} 2 \int_0^a f(x) dx, & f(x) \text{为偶函数} \\ 0, & f(x) \text{为奇函数} \end{cases}，f(x)在[-a,a]上连续\)
定积分的计算
有些定积分难以用求不定积分的方法求出，这时可以用定积分的可加性、积分限、对称性和几何意义来求。
利用可加性
【例】\(\int_0^{\pi} \sqrt{1-\sin x} dx\)
解：
\[\begin{aligned}
\int_0^{\pi} \sqrt{1-\sin x} dx
&= \int_0^{\pi} \sqrt{sin^2 \frac{x}{2} + cos^2 \frac{x}{2} - 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}} dx \\
&= \int_0^{\pi} \sqrt{(sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2})^2} dx \\
&= \int_0^{\pi} |sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2}| dx \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2}) dx \\
&= 2(sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}) \bigg |_{0}^{\frac{\pi}{2}} + 2(-cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) \bigg |_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\
&= 4(\sqrt{2}-1) \\
\end{aligned}
\]
利用积分限
【例】\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+tan^{2019} x}\)
解：
\[\begin{aligned}
令 t &= \frac{\pi}{2} - x\\
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+tan^{2019} x}
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{1+cot^{2019} t} \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{tan^{2019} t}{1+tan^{2019} t} dt \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{tan^{2019} x}{1+tan^{2019} x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{tan^{2019} x + 1}{1+tan^{2019} x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx \\
&= \frac{\pi}{4} \\
\end{aligned}
\]
要使换元后\(\int_a^b f(x) dx\)的积分限不变，只有令t=a+b-x
利用对称性
【例】\(\int_{-2}^{2} \left ( \ln \frac{x+2}{x-2} + \frac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}} \right ) dx\)
解：
\[\begin{aligned}
由对称性可得，\int_{-2}^{2} \ln \frac{x+2}{x-2} dx &= 0 ，\int_{-2}^{2} \frac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}} dx = 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}} dx \\
\int_{-2}^{2} \left ( \ln \frac{x+2}{x-2} + \frac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}} \right ) dx &= 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}} dx \\
&= 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2(2-\sqrt{4-x^2})}{(2+\sqrt{4-x^2})(2-\sqrt{4-x^2})} dx \\
&= 2 \int_{0}^{2} (2-\sqrt {4-x^2}) dx \\
&= 2 \int_{0}^{2} dx - 2 \int_{0}^{2} \sqrt {4-x^2} dx \\
&= 8 - 2 \int_{0}^{2} \sqrt {4-x^2} dx \\
令 x &= 2 sin t \\
t &= arcsin \frac{x}{2} \\
dx &= 2 cos t dt \\
\int_{0}^{2} \sqrt {4-x^2} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 cos^2 t dt \\
&= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + cos 2t) dt \\
&= \pi \\
原式 &= 8 - 2 \pi \\
\end{aligned}
\]
利用几何意义
【例】\(\int_0^{n \pi} |sin x| dx\)
解：
\[\begin{aligned}
由几何意义可得，\int_0^{n \pi} |sin x| dx &= n \int_0^{\pi} |sin x| dx \\
&= 2n \\
\end{aligned}
\]
若f(x)是以T为周期的周期函数，则\(\int_a^{a+nT} f(x) dx = n \int_0^T f(x) dx\)
定积分的几何应用
平面图形的面积
- 对\(x\)积分：曲线\(y=f_1(x)\)和\(y=f_2(x)\)与x=a、x=b所围成的平面图形的面积为\(S=\int_a^b |f_1(x)-f_2(x)| dx\)；
- 对\(y\)积分：曲线\(x=f_1(y)\)和\(x=f_2(y)\)与y=a、y=b所围成的平面图形的面积为\(S=\int_a^b |f_1(y)-f_2(y)| dy\)。
旋转体的体积
- 以x轴为轴线旋转：曲线\(y=f(x)\)与x=a、x=b所围成的旋转体的体积为\(V=\pi \int_a^b f^2(x) dx\)，其中底面半径是\(f(x)\)，高是\(dx\)，体积元是\(\pi f^2(x) dx\)，从a到b积分得到体积；
- 以y轴为轴线旋转：曲线\(x=f(y)\)与y=a、y=b所围成的旋转体的体积为\(V=\pi \int_a^b f^2(y) dy\)。
平面曲线的弧长
曲线\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上的弧长为\(L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx\)。
积分与导数的相互转换
1.积分式转换为导数式
（1）积分号内无积分号
【例】设不定积分\(\int xf(x)dx=\arcsin x + C\)，求\(\int \frac{dx}{f(x)}\)。
解：
\[\begin{aligned}
由题意可得，\frac{d}{dx} \left ( \int xf(x)dx \right ) &= \frac{d}{dx} \left ( \arcsin x + C \right ) \\
xf(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
f(x) &= \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}} \\
\int \frac{dx}{f(x)} &= \int x \sqrt{1-x^2} dx \\
&= - \frac{1}{2} \int \sqrt{1-x^2} d(1-x^2) \\
&= - \frac{1}{3} (1-x^2)^{\frac{3}{2}} + C \\
\end{aligned}
\]
（2）积分号内有积分号
【例】设函数\(f(x) = \int_1^{\sqrt{x}} e^{-y^2} dy\)，求\(\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx\)。
解：