向量范数
- 一范数： \(||x||_1 = |x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|\)
- 二范数： \(||x||_2 = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + \dots + |x_n|^2}\)
- p范数： \(||x||_p = \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots + |x_n|^p}, \quad p\in [1,\infty)\)
- \(\infty\) 范数： \(||x||_p = \max_{1\leq i \leq n} |x_i|\)
矩阵范数
- 列范数：
\[||A||_1 = \max_{1\leq j \leq n} \sum_{i=1}^n|a_{ij}|
\]
即对矩阵的每个列向量的元素做绝对值求和，然后取和最大的那列的值
例如，对于矩阵\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]其列范数为max{1+3,2+4}，即为6
- 行范数：
\[||A||_{\infty} = \max_{1\leq i \leq n} \sum_{j=1}^n|a_{ij}|
\]
即对矩阵的每个行向量的元素做绝对值求和，然后取和最大的那行的值
- 二范数：
\[||A||_2 = \sqrt{矩阵A^TA的最大特征值}
\]
谱半径
\[\rho(A) = \max_{1\leq i \leq n}|\lambda_i|
\]
其中 \(\lambda_i\) 为矩阵的特征值
定理：对于任何n阶方阵A，以及任意矩阵范数 \(|| \cdot ||\) ，都有 \(\rho(A) \leq ||A||\) 。