泰勒公式太重要辣,前几个章节想要快速做题就差不多要求熟练掌握了,这里不做展开。总之,计算能力练起来,起点高了,题型解法能条件反射了,知道命题人改题的方式了,那就是真的学到东西了,而最快掌握的方式,说白就是练!
- 有界与最值定理:\(f(x)在[a,b]上连续,则[a,b]上存在最大值M和最小值m。\)
- 介值定理:\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续,最大最小值间 [m,M] 随意取值u,\(\exists x \in [a,b]\),使得f(x)=u。
- 平均值定理:\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续,(a,b)间取n个点,这n个点区间内,\(\exists x \in [x_{1},x_{n}]\),使得\(f(x)=\frac{f(x_{1})+f(x_{2})+ \dots +f(x_{n})}{n}\) 。
- 零点定理:\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续,f(a),f(b)异号,则零点存在。
- 费马定理:\(f(x)\)在\(x_{0}\)处,①可导②取极值,则\(f'(x_{0})=0\)。
- 证明:导数定义+保号性+极值定义。 - 罗尔定理:由费马引理易得
- (1)[a,b]内连续
- (2)(a,b)内可导
- (3)\(f(a)=f(b)\)
- 拉格朗日中值定理:\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)。
- 柯西中值定理:\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)。
- 积分中值定理:\(\int_{a}^{b} f(x)dx=f(\xi )(b-a)\)。变上限积分+拉氏中值定理可证。
- 达布定理:可导,导函数不保号,则导函数必有零点。逆否命题换言之,若导函数不存在0点,则导函数必保号。由费马定理可证。
看到[a,b]连续需要联想到有界,然后往介值定理套,可以找到复杂表达式也在[m,M]间,也就等于\(f(\xi)\)。
看到\(f(b)-f(a)\)需要联想到拉格朗日,看到\(f\)与\(f'\)的关系也可以往这里面套。
如果,我说如果啊,还需要找一阶导和积分的联系,可以用拉格朗日之后两边取积分/积分中值定理。
除此之外,如果涉及高阶导,需要借助泰勒公式与原函数搭桥建立关系。这样一旦把高阶导转积分,奇函数(奇数次幂)直接就0了。
费马是个非常了不起的人,我们需要了解的费马定理可以推罗尔和达布,罗尔是拉格朗日的特殊情况,拉格朗日中值又是柯西中值的特殊情况。
积分中值可以用介值定理推,两侧同时积分,只不过这种情况 \(\xi\) 取在a,b闭区间内;
拉格朗日中值证明了 \(\xi\) 应取在a,b开区间内,考试直接用。不需要证明?答曰:考过了。
罗尔定理要注意变体,看到\(f×f'\)想到平方;看到\(f'+\varphi (x)f\)想到\(e^{\varphi (x)}f\)。
实际运用中注意找函数值相等的点,可能会找到3个,然后连续两次罗尔。
达布定理只要求函数可导,也就是导函数存在,不要求导函数连续;有趣的是,这样一来导函数如果间断的话,是不可能存在第一类间断点的。试想一下,函数可导,原函数必连续且光滑,左导数=右导数=一个存在的值(间断点导数的函数值,不是∞),这样一来,要使导函数不连续,间断点邻域内需要导数存在且不唯一的情况——也就是振荡间断点,典型的反例就是\(f(x)=x^{2}×sin(\frac {1}{x})\)。
学习目标:如果看到几大定理,能脑中快速过一遍证明方法和常见命题方式,这块基础就算是过关了,也就是把书读厚这个过程。不熟悉可以尝试刷题,记不住就用艾宾浩斯遗忘曲线反复刷。每天一遍,爱情再见。
参考内容:宇哥的基础30讲。