22.函数\(f(x)=\lg(a\cdot9^x+3^x-1)\)
(1)如果\(x\in(1,2)\)有意义，求实数\(a\)的取值范围
(2)当\(a\leq 0\)时，\(f(x)\)的值域为\(\mathbb{R}\)，求实数\(a\)的取值范围
(3)在\((2)\)的条件下，\(g(x)\)是定义域为\(\mathbb{R}\)的奇函数，且\(x>0\)时，\(g(x)=10^{f(x)}+1\).对任意的\(t\in \mathbb{R}\)，解不等式\(g(x^2+tx-2t)\geq \dfrac{g^3(x)}{|g(x)|}\)
解:(1)由题，\(x\in(1,2),a\cdot9^x+3^x-1>0\)恒成立
参变分离得\(a>9^{-x}-3^{-x}\)恒成立，即\(a>\left(9^{-x}-3^{-x}\right)_{\max }\)
令\(3^{-x}=t\in\left(\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{3}\right)\)，记\(F(x)=t^2-t\)
对称轴为\(t=\dfrac{1}{2}\)，则\(F(t)\)在\(\left(\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{3}\right)\)单调递减
从而\(F(x)<F\left(\dfrac{1}{9}\right)=-\dfrac{8}{81}\)
所以\(a\geq -\dfrac{8}{81}\)
(2)由题，当\(a\leq 0\)时，记\(u=3^x,G(u)=au^2+u-1\)的值域必须包含\((0,+\infty)\)
\(a=0\)时，合题意
\(a\neq 0\)时，不合题
(3)\(f(x)=\lg(3^x-1),g(x)=10^{\lg(3^x-1)}+1=3^x-1+1=3^x(x>0)\)
因\(g(x)\)是奇函数，所以\(g(x)=-3^{-x}(x<0)\)
因此\(g(x)=\begin{cases}
3^x,x>0\\
0,x=0\\
-3^{-x},x<0
\end{cases}\)
则\(|g(x)|=\begin{cases}
3^x,x>0\\
0,x=0\\
3^{-x},x<0\end{cases}\)
，则\(\dfrac{g^3(x)}{|g(x)|}=\begin{cases}
3^{2x},x>0\\
0,x=0\\
-3^{-2x},x<0
\end{cases}=g(2x)\)
则不等式\(g(x^2+tx-2t)\geq \dfrac{g^3(x)}{|g(x)|}\)等价于\(\forall t\in\mathbb{R},g(x^2+tx-2t)\geq g(2x) (x\neq 0)\)恒成立
又因\(g(x)\)是单调递增的，所以\(\forall t\in\mathbb{R},x^2+tx-2t\geq 2x\)
即\(x^2+x(t-2)-2t\geq 0\)
即\((x+2)(x-t)\geq 0\)
当\(t< -2\)时，$ x $ 解集为\(\{x|x\leq \mbox{且}x\neq 0\mbox{或}x\geq -t\}\)
当\(t=-2\)，解集为\(\{x\neq 0\}\)
当\(-2\leq t<0,\)解集为\(\{x\leq -t\mbox{且}x\neq 0\mbox{或}x\geq 2\}\)
当\(t>0,\)解集为\(\{x|x\leq -t\mbox{或}x\geq 2\}\)