前置知识：
一般分配律：
\(\displaystyle\sum_{\substack{j\in J\\k\in K}}a_jb_k\)
\(=\displaystyle\sum_{\substack{j\in J}}\displaystyle\sum_{\substack{k\in K}}a_jb_k\)
\(=(\displaystyle\sum_{\substack{j\in J}}a_j)(\displaystyle\sum_{\substack{k\in K}}b_k)\)
考虑如下二重和式：
\(S=\displaystyle\sum_{1≤j<k≤n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)\)
当交换 \(j,k\)，有对称性：
\(S=\displaystyle\sum_{1≤k<j≤n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)=\displaystyle\sum_{1≤k<j≤n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)\)
考虑将S与自己相加，利用恒等式
\([1≤j＜k≤n]+[1≤k＜j≤n]=[1≤j,k≤n]-[1≤j=k≤n]\)
得到：
\(2S=\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)-\displaystyle\sum_{1≤j=k≤n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)\)
注意到 \(\displaystyle\sum_{1≤j=k≤n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)\) 等于 \(0\)，得
\(2S=\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)\)
考虑将 \((a_j-a_k)(b_j-b_k)\) 拆开：
\(2S=\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}(a_jb_j-a_jb_k-a_kb_j+a_kb_k)\)
\(2S=\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}a_jb_j-\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}a_jb_k-\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}a_kb_j+\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}a_kb_k\)
\(2S=2\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}a_kb_k-2\displaystyle\sum_{1≤j,k≤n}a_jb_k\)
考虑一般分配律：
\(2S=2n\displaystyle\sum_{1≤k≤n}a_kb_k-2(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k)(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k)\)
\(S=n\displaystyle\sum_{1≤k≤n}a_kb_k-(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k)(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k)\)
又因为 \(S=\displaystyle\sum_{1≤j<k≤n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)\)
\(\displaystyle\sum_{1≤j<k≤n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)=n\displaystyle\sum_{1≤k≤n}a_kb_k-(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k)(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k)\)
移项：
\((\displaystyle\sum_{k=1}^na_k)(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k)=n\displaystyle\sum_{1≤k≤n}a_kb_k-\displaystyle\sum_{1≤j<k≤n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)\)
这个恒等式得到称为切比雪夫单调不等式（Chebyshev's monotonic inequality）的一个特例：
\((\displaystyle\sum_{k=1}^na_k)(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k)≤n\displaystyle\sum_{1≤k≤n}a_kb_k\)（\(a\) 单调递增，\(b\) 单调递增）
\((\displaystyle\sum_{k=1}^na_k)(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k)≥n\displaystyle\sum_{1≤k≤n}a_kb_k\) （\(a\) 单调递增，\(b\) 单调递减）
一般来说，如果 \(a\) 单调递增，且 \(p\) 是 \(\{ 1,..,n\}\) 的一个排列，不难证明，当 \(b_{p(1)}≤...≤b_{p(n)}\) 时，有 \(\displaystyle\sum_{1≤k≤n}a_kb_{p(k)}\) 的最大值出现，而当 \(b_{p(1)}≥...≥b_{p(n)}\) 时有最小值出现。