狄杰斯特拉正确性的一点理解

发布时间 2023-10-24 19:54:55作者: pcpcppc

把之前不求甚解的地方补上,顺带一提,最小生成树的prim算法和狄杰斯特拉基本一模一样

 

狄杰斯特拉算法其实和红黑树有点像,两者都是先弄出一个具有某种性质的集合,接着不断向这个集合中插入元素并进行维护,以确保这个集合一直满足某种性质,直到所有需要处理的元素都在这个集合中,自然也就完成了算法的目的,这种思路很有学习的价值

 

狄杰斯特拉中具有某种性质的集合是d【】数组,用于记录“以某个点作为起点,到当前节点的最短路径”,现在我们已经得到了集合,下一步就是要向集合中不断插入元素,并找到某种维护方式,使d【】数组一直保持这个性质,如何维护狄杰斯特拉就不多赘述,重点讲讲为什么这么维护是正确的

 

1.为什么每次要选择当前d【】最小的元素作为更新的起点?

贪心

以红黑树的插入为例,红黑树中插入的节点一定是红色而不是黑色,这是因为如果插入红色节点,只是有可能破坏红黑树的性质从而导致要进行维护,而如果插入黑色节点,则一定会破坏红黑树的性质从而必须进行维护,同样的道理,所有d【】对应的节点中,当前已知的,d【】最小的元素显然是最有可能在最短路中的,再换个角度,d【】最小的元素,离起点最近(也就是到起点的距离最小),所以每次更新,都相当于是在目前已知的,最短路的结尾进行下一步的更新

 

2.如何保证每次松弛操作完,不会破坏d【】中的性质?

假设此时正在更新第x个元素,那么对于前x-1个元素中的任意一个元素y来说,只有两种情况,第一种,松弛操作的时候松弛到y了,这种情况下只需要比较原本的d【】和从当前这条路过来的距离谁更短,让短的那个成为新的d【】,这样就没有破坏d【】的性质,其中保存的依旧是最短路的长度,第二种,这次松弛与y无关,那么这次操作自然就不会改变与y有关的d【】,当前的d【】依旧保持性质

 

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