面积（测度）
我们在一元时已经建立了定积分的概念，并用“曲边梯形的面积”这一几何意义来理解它。我们知道定积分其实是Riemann和的极限，那么我们很容易自然地把它推广到多元函数——二元函数的积分应当表示“曲顶主体的体积”等等。
我们在推广时遇到的第一个问题在于多元下的“划分”该如何定义。在给一元函数积分时，我们把自变量划分成小段的区间，那么二元函数就要把自变量划分成小块的面积，三元要划分成小体积……而“面积”这个概念事实上是还没有被定义的——尽管我们已经定义出“曲边梯形的面积”，但这种情况是很特殊的。曲边梯形终究依赖于一个Riemann可积的函数，因此这首先要求这个函数几乎处处连续。我们想更一般地定义“任何一个平面点集”的面积，以免在以后的讨论中碰到麻烦。面积的定义其实是重积分中最核心的部分了。
首先我们很容易接受把\(\R^2\)上的矩形\([a,b] \times [c,d]\)的面积定义为\((b-a)(d-c)\)。它就好像二维空间上的“区间”一样（更高维的情形也类似）。那么对于\(\R^2\)上的任何一个点集\(D\)，既然能求面积那就一定有界，我们可以找到一个足够大的矩形覆盖它。不断给这个大矩形增加横着的和竖着的划分，会形成一系列小矩形。把所有和\(D\)有交集的矩形面积加起来（被我们讨论的一定是有限个，因此做加法是完全没有问题的）记为\(mA\)，把所有被完全包含在点集内的小矩形之和（即矩形的所有点都属于集合\(D\)）的记为\(mB\)。随着划分的加细，\(mA\)不增，\(mB\)不减。如果当划分趋向无穷细的时候\(mA=mB\)，那这个值就称为\(D\)的面积，否则，就称\(D\)不可求面积。（划分趋向无穷细这一说法符合直觉但不严格，正确的表述是对于所有可能的划分取\(mA\)的下确界，\(mB\)的上确界）
用矩形来定义面积其实并不是最好的策略，因为它依赖于\(\R^2\)这样性质很好的背景。
通过这样的面积定义方式，我们可以看到一个“可求面积”的点集在无限加细以后，恰好覆盖在边界点上的所有矩形大小之和一定为0，否则\(mA\)就永远无法等于\(mB\)了。当然这也是不严格的理解，事实上有结论：点集可求面积当且仅当对于任何\(\varepsilon>0\)，都存在有限个矩形能覆盖\(D\)的所有边界点，且这些矩形的面积之和小于\(\varepsilon\)。我们称这样能被面积之和无穷小的有限个矩形覆盖的点集为“零面积集”，这是Jordan测度中的定义，与以往的Lebesgue测度不同，因为Lebesgue测度中是用“可数个”去覆盖而不是“有限个”，后者对应的是零测集。当我们说一个点集面积为0时，指的是Jordan测度为0。Lebesgue测度为0，却有可能不可求面积——例如\([0,1]\times[0,1]\)中的有理点构成的点集， 由于有理数的稠密性每个点都是边界点，因此边界集面积不为0所以不可求面积，但有理点的数量远小于无理点的数量，它的Lebesgue测度显然为0。
对于连续函数（显函数），我们的分划有取上确界为\(\xi\)和下确界为\(\xi\)两种选点方式，这两种选点得到的面积之差就是一系列小矩形，他们恰好覆盖了这条连续函数。由于连续函数Riemann可积，这些小矩形面积之和一定为0，而对于\(\forall \varepsilon>0\)分划的个数一定是有限个，因此矩形也是有限个，所以我们证明了连续曲线是零面积的。由此可以推出，由有线条连续函数（显函数）所围成的区域一定是可求面积的。
更高维中的“矩形面积”的定义方式与上述方式完全类似，我们称之为“\(n\)维区间的测度”。
重积分
有了面积的定义，我们就可以仿照一元的定积分给出重积分的概念。积分就是分划+选点。对于给定的区域\(D\)（我们要求它是可求面积的），我们把它分为\(n\)个无向无交集的小区域\(\Delta D_i\)，并让这\(n\)个区域的并集恰好等于\(D\)，这就是一个分划。为这种分划的选取是任意的，我们并不要求\(\Delta D_i\)是连通的，或者任何其他我们直观上赋予它的要求。为了向一元定积分一样体现出分划的无穷加细，我们要求所有区域中最大的那个小于一个趋向无穷小的值。但这里我们不用面积来衡量区域大小，因为我们已经发现一个零面积有可能占据了相当大的一部分区域（例如连续曲线），我们用“直径”\(\|\Delta\|\)来衡量区域的大小，直径\(\|\Delta\|\)定义为点集中任意两点间距离（度量）的上确界。
以二元为例，在每个区域中任意选点，得到Riemann和\(\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)（\(\Delta \sigma_i\)表示\(\Delta D_i\)的面积）。那么重积分就定义为
\(\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\|\Delta\| \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)
这个定义也可以推广到多维。
可积的等价条件
同样的，以重积分的定义方式是无法判断可积性的。而我们已经注意到，我们在定义重积分的时候只是在逐字逐句重复一元定积分的过程，因此可积性的等价条件也和一元完全相同。我们也可以由选点的上确界和下确界定义出Darboux大和与Darboux小和，在加细过程中大和不增，小和不减，证明可积等价于大和的下确界等于小和的上确界。由此得到可积等价于对于任意分划振幅之和任意小，再把这个结论推广到对于任意\(\varepsilon>0\)只需要存在一个分划使得振幅之和任意小。最后得到大定理——Lebesgue准则：\(f\)可积当且仅当\(f\)的不连续点为Lebesgue零测集。
重积分的性质
重积分的性质也是和一元定积分一致的，证明也完全相同：
- 线性性（积分是线性泛函）
- “区间”可加性
- 保号性（单调性）
- 绝对可积性
- 乘积可积性
- 中值定理\(\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta) \cdot mD\)
二重积分的计算
到目前为止，重积分的可积性理论和性质都与一元情形完全一致，并没有什么新的东西。而在重积分的计算上却没有这种一致性，原因在于我们对一元积分的计算依赖于Newton-Leibniz公式，而在重积分中却没有类似的公式。因此在计算重积分的时候（除了用定义直接计算的情况以外），必须用方法把它重新转化为一元的问题。
二重积分的计算问题都可以还原到计算曲顶柱体的体积的问题。我们直觉是就可以接受（其实我们在一元的时候就已经不自觉地这么用了），我们可以先固定一个\(x_0\)，把\(x_0\)对应的“截面积”用一个新的函数\(A(x_0)\)表示，这个函数是关于\(y\)的一个一元定积分，然后我们再把\(A(x)\)关于\(x\)积分，也就是我们期待：
\(\displaystyle\iint\limits_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)d\sigma=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx\)
这里我们默认了积分区间是一个矩形，对于不是矩形的情况，我们可以把矩形补全，并给区间外的部分填上0。这样的填补可能产生新的不连续点，但显然这些不连续点只会出现在\(D\)的边界点上。由于\(D\)是可求面积的，边界点一定是零测集（即使在Lebesgue测度意义下），所有总的不连续点的个数依然为零测集，所以新的函数依然是可积的，并且结果一定与我们想要的相同。
我们来证明这个期待是成立的。右式只涉及定积分，所以对\(x,y\)做分划，得到\(\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx =\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\left[\sum\limits_{j=1}^{m}\displaystyle\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(\xi_i,y)dy\right]\Delta x_i\)，在每个定积分中分别给\(y\)取\(f\)在区间中的上确界和下确界，得
\(\sum\limits_{j=1}^{m}\inf f(\xi_i,y) \Delta y_j \leq \sum\limits_{j=1}^{m}\displaystyle\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(\xi_i,y)dy \leq \sum\limits_{j=1}^{m}\sup f(\xi_i,y) \Delta y_j\)
同样地，待会原式后对\(x\)也用上确界和下确界放缩，得到
\(\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\inf f(x,y) \Delta x_i\Delta y_j \leq \displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx \leq \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sup f(x,y) \Delta x_i\Delta y_j\)
这样我们就成功用Darboux大和与Darboux小和来夹逼它了，因此它必须等于重积分。
这个过程称为“化二重积分为二次积分”。如果把\(x\)和\(y\)的顺序交换也是可行的，这可以依据计算的方便程度来选择。
尽管我们在计算重积分的时候先做这样的转化再看结果，而不会预先判断这样的转换是否是“可能的”。但必须指出，二重积分和二次积分的存在性之间并不能互相保证。Riemann函数的反例告诉我们二重积分存在并不意味着二次积分存在，而二元的Dirichlet函数却告诉我们二次积分存在并不意味着二重积分存在。但如果我们能够分别验证二重积分存在和二次积分存在（每一个定积分都存在），那么就可以放心做上面这样的转化。