一元函数微分几何应用

对于一个一元函数，在微分学上的几何讨论分为以下几个方面：

极值与单调性

最值或取值范围

凹凸性与拐点

渐近线

极值与单调性

单调性的概念就不说了，这里说一下单调性的判别，包括了定义法，微分学方法

定义法
- 单调增函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)
- 单调减函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0\)
微分学方法
- 单调增函数：\(f'(x)>0\)
- 单调减函数：\(f'(x)<0\)

极值的概念

极值的判别

极值可能在哪里取得？

一个点只有可导和不可导的情况，而费马定理告诉我们，当一个点可导且是极值点时，其导数一定为零，也就是驻点。由此知道，驻点可能是极值点；而对于不可导点，包括无定义点和四类间断点，无定义点一定不是极值点，而四类间断点都可能是极值点。最后对于端点，由于单侧无定义，因此端点也不可能是极值点。总结：极值点只可能在驻点和四类间断点取得。
对于某个点\(x_0\)，如何判断其是不是极值点？
- 如果\(x_0\)二阶可导（二阶可导说明一阶也可导），且\(f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq 0\)
  
  如果\(f''(x_0)<0\)，则是极大值；如果\(f''(x_0)>0\)，则是极小值；（结合后面凹凸性可以理解）
- 如果很不幸，\(x_0\)一阶不可导，但是它连续，并且去心领域内可导，那就如下判断：
  
  \(x\in(x_0-\delta,x_0),f'(x)<0;x\in(x_0,x_0+\delta),f'(x)>0;\)先减后增，是为极小值
  
  极大值同理
- 如果\(x_0\)很猛，n阶可导，可以类比第一条，有如下推论
  
  若\(f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=...=f^{n-1}(x_0)=0\),且\(f^n(x_0)\neq0\)，则
  
  当n为偶数且\(f^n(x_0)<0\)，取得极大值
  
  当n为偶数且\(f^n(x_0)>0\)，取得极小值

最值的概念

对比极值的定义，可以看到它们的差别在于一个针对领域范围，一个针对定义域范围

最值的判别：

凹凸性判别：

拐点的判别：

拐点在哪里取得？

类比极值点，设\(f''(x)\)存在，则在\(f''(x)=0\)处取得。不讨论二阶导不存在的情况。
如何判别？
- 如果\(x_0\)处三阶可导，且\(f''(x_0)=0,f'''(x_0)\neq0\)，则为拐点
- 如果很可惜，三阶不可导，但是\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，且去心领域内二阶可导；则如果\(f''(x_0)\)左右变号，则是拐点。