\(c_e, c_{u, v}\) 表示 capacity，\(w_e, w_{u, v}\) 表示 cost。\(f_e, f_{u, v}\) 表示当前流量，\(d_u\) 表示初始流量，即要求 \(\sum\limits_{p}f_{u, p} - \sum\limits_{q}f_{q, u} = d_u\)。
最小割
考虑对于每个点设置 \(X_i \in \{0, 1\}\) 表示是否在 \(S\) 块内。则形式为：
\[\min \sum\limits_{i \neq j} X_i(1 - X_j)c_{i, j} + \infty\cdot(1 - X_S + X_T)
\]
（带有初始流量的）最小费用（循环）流
其它费用流问题可以化为这个形式。
\[\begin{cases}
-f_{u, v} \ge -c_{u, v}\\
\sum\limits_{p}f_{u, p} - \sum\limits_{q}f_{q, u} \ge d_u\\
\min \sum_{u, v} w_{u, v}f_{u, v}
\end{cases}
\]
是一个最小化形式的线性规划问题。
费用流对偶
下面考虑它的对偶形式，\(X_{u, v}\) 是边流量限制的对偶，\(Y_u\) 是点流量平衡的对偶。
\[\begin{cases}
-X_{u, v} + Y_u - Y_v \le w_{u, v}\\
\max -\sum\limits_{u, v}c_{u, v}X_{u, v} + \sum\limits_{u}d_uY_u
\end{cases}
\]
显然 \(X_{u, v} = \max\{0, Y_u - Y_v - w_{u, v}\}\)，于是：
\[\max -\sum\limits_{u, v}c_{u, v}\max\{0, Y_u - Y_v - w_{u, v}\} + \sum\limits_{u} d_uY_u
\]
它的一个常见用法是设 \(c_{u, v} = \infty\)，则变成了有若干个限制 \(Y_u - Y_v - w_{u, v} \le 0\)，\(\max \sum\limits_u d_uY_u\)。