八、(10分) 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi\psi=\psi\varphi$. 证明: 存在正整数 $m$, 使得
$$\mathrm{Im}(\varphi^m+\psi^m)=\mathrm{Im}\varphi^m+\mathrm{Im}\psi^m.$$
证明 注意到 $\varphi,\psi$ 的乘法交换性以及要证明的结论在 $\varphi,\psi$ 变为同一个幂次 $\varphi^m,\psi^m$ 之后保持不变, 故由高代白皮书例 4.35, 不妨设 $V=\mathrm{Im}\varphi\oplus\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Im}\psi\oplus\mathrm{Ker}\psi$, 且 $\varphi|_{\mathrm{Im}\varphi},\psi|_{\mathrm{Im}\psi}$ 都是自同构. 由 $\varphi\psi=\psi\varphi$ 可知 $\mathrm{Im}\varphi,\mathrm{Ker}\varphi$ 都是 $\psi$ 的不变子空间, 故 $\psi(\mathrm{Im}\varphi)\cap\psi(\mathrm{Ker}\varphi)\subseteq\mathrm{Im}\varphi\cap\mathrm{Ker}\varphi=0$, 从而 $\psi(\mathrm{Im}\varphi)\cap\psi(\mathrm{Ker}\varphi)=0$, 于是
$$\mathrm{Im}\psi=\psi(V)=\psi(\mathrm{Im}\varphi)+\psi(\mathrm{Ker}\varphi)=\psi(\mathrm{Im}\varphi)\oplus\psi(\mathrm{Ker}\varphi).$$
因此,
$$V=\psi(\mathrm{Im}\varphi)\oplus\psi(\mathrm{Ker}\varphi)\oplus\mathrm{Ker}\psi,\quad\cdots(*)$$
其中 $\psi(\mathrm{Im}\varphi)=\varphi(\mathrm{Im}\psi)$. 在不变子空间直和分解 $(*)$ 下, 适当地选取 $V$ 的一组基, 可使 $\varphi$ 的表示矩阵为 $\begin{pmatrix} A_1 & & \\ & O & \\ & & A_3 \\ \end{pmatrix}$, $\psi$ 的表示矩阵为 $\begin{pmatrix} B_1 & & \\ & B_2 & \\ & & O \\ \end{pmatrix}$, 其中 $A_1,B_1$ 为非异阵且 $A_1B_1=B_1A_1$. 因此, 要证存在正整数 $m$, 使得
$$\mathrm{Im}\begin{pmatrix} A_1^m+B_1^m & & \\ & B_2^m & \\ & & A_3^m \\ \end{pmatrix}=\mathrm{Im}\begin{pmatrix} A_1^m & & \\ & O & \\ & & A_3^m \\ \end{pmatrix}+\mathrm{Im}\begin{pmatrix} B_1^m & & \\ & B_2^m & \\ & & O \\ \end{pmatrix},$$
只要证存在正整数 $m$, 使得 $\mathrm{Im}(A_1^m+B_1^m)=\mathrm{Im}A_1^m+\mathrm{Im}B_1^m$ 即可. 由 $A_1,B_1$ 非异且 $A_1B_1=B_1A_1$ 可知, $A_1^m+B_1^m=A_1^m\big(I+(A_1^{-1}B_1)^m\big)$ 且 $A_1^{-1}B_1$ 也非异, 故只要证明:
$(\sharp)$ 对任一 $n$ 阶非异阵 $A$, 必存在正整数 $m$, 使得 $I_n+A^m$ 也非异即可.
用反证法证明 $(\sharp)$. 若不然, 则对 $m=2^i\,(0\leq i\leq n)$, 存在非零列向量 $\alpha_i\in\mathbb{K}^n\,(0\leq i\leq n)$, 使得 $(I_n+A^{2^i})\alpha_i=0\,(0\leq i\leq n)$. 于是 $A^{2^i}\alpha_i=-\alpha_i$, $A^{2^j}\alpha_i=\alpha_i\,(\forall\,j>i)$. 设 $c_0,\cdots,c_{n-1},c_n\in\mathbb{K}$, 使得
$$c_0\alpha_0+\cdots+c_{n-1}\alpha_{n-1}+c_n\alpha_n=0.$$
上式两边同时左乘 $A^{2^n}$ 可得
$$c_0\alpha_0+\cdots+c_{n-1}\alpha_{n-1}-c_n\alpha_n=0,$$
由此可得 $c_n=0$, 从而
$$c_0\alpha_0+\cdots+c_{n-1}\alpha_{n-1}=0.$$
不断这样讨论下去, 可得 $c_0=c_1=\cdots=c_n=0$, 于是 $\alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关, 这与 $\mathbb{K^n}$ 中任意 $n+1$ 个向量必线性相关矛盾. 由此结论得证. $\Box$
注 (1) 注意到矩阵的非异性在基域扩张下不改变, 故还可用特征值的方法 (高代 II 的知识) 来证明 $(\sharp)$, 具体的细节留给读者完成.
(2) 本题得到 6 分以上的只有覃昊东同学一人.