实际上，这是两个向量的叉积已经是其他题解说烂了的。这里只是给出一个容易记忆 \(dim\le 3\) 的行列式的值的办法。
我们以 \(3\) 维行列式为例子，假设为
\[\begin{vmatrix}
a & b & c\\
i & j & k\\
o & p & q
\end{vmatrix}
\]
我们有一个神奇的方法来记忆这个行列式的求值。
首先从左上向右下打斜线，出格的部分从左向右重新打。相同颜色的斜线代表同一条斜线的话，应该是这样子的：
\[\begin{vmatrix}
{\color{red} \backslash} a & {\color{green} \backslash}b & {\color{purple} \backslash}c\\
{\color{purple} \backslash}i & {\color{red} \backslash} j & {\color{green} \backslash}k\\
{\color{green} \backslash}o & {\color{purple} \backslash}p & {\color{red} \backslash} q
\end{vmatrix}
\]
我们把斜线上的数相乘再相加，得到 \(ajq+bko+cip\)。
同理，我们从右向左打斜线：
\[\begin{vmatrix}
{\color{red} \backslash} a & {\color{green} \backslash}b & {\color{purple} \backslash}c\\
{\color{green} \backslash}i & {\color{purple} \backslash} j & {\color{red} \backslash}k\\
{\color{purple} \backslash}o & {\color{red} \backslash}p & {\color{green} \backslash} q
\end{vmatrix}
\]
同样得到 \(akp+bqi+coj\)。把两个式子相减即可得到答案。
二维行列式是完全类似的。只是可惜，这个规律在更高阶的行列式并不适用。