E - Numbers on the blackboard
最后的答案肯定为\(\sum_{l\leq i\leq r} 2^{p_i}\times a_i\)
然后这个\(p\)满足以下限制：
-
\(p_i=0\)（\(i=l\)）
-
\(1\leq p_i\leq p_{i-1}+1\)（\(l<i\leq r\))
以下不特别考虑\(i=1\)
那么若\(a_i>0\)，那么我们肯定是希望它的\(p_i\)尽可能大也就是取\(p_{i-1}+1\)，即在\(i-1\)合并到前面去之前，\(i\)就合并到\(i-1\)了
步骤一：那么先不考虑询问，我们要使得答案最大，肯定是从最右端开始向左合并，直到当前合并出来的值为负数，就停下，然后向前找，直到找到下一个为非负数的点，然后又从它开始向前合并
步骤二：那么最后就只剩下了一堆权值为负的点（也有可能只剩下一个非负的点），那么对于这些点我们希望它们的\(p_i\)尽可能小，所以现在从左往右合并，那么每个点的\(p_i\)都等于\(1\)
现在考虑能不能从左往右加点的进行步骤一，显然是可以的
假设我们已经处理好了当前已经加进来了的所有点最后缩成的负点，那么加入一个新点\(t\)，若它是负数，就不管，否则就将它与目前最后一个负点融合，它的贡献就是\(2^{sz}\times a_t\)，其中\(sz\)表示最后一个负点所代表的原来的点的数量
若这个负点又变成正的了，就继续向前融合
这样的话，我们就可以将询问离线，对所有询问按右端点从小到大排序，然后考虑怎么处理询问，即怎么进行步骤二
我们先加点加到\(r\)，这样就不用考虑右边界，接下来考虑\(l\)
找到\(l\)所处的点，那么对于这个点之后的所有点，它们都可以用上述步骤二的方式解决，即它们的\(p_i\)都是1，对于\(l\)处于的这个点，将它拆成原来的样子，舍去\(l\)左边多余的原来的点，剩下的原来的点，因为都是这个点所代表的一个区间的点的右边部分，所以它们一定可以全部按照步骤一的方式合并
于是就做完了，撒花*★,°*:.☆(￣▽￣)/$:*.°★*
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+5,MOD=1e9+7;
const ll INF=1e14+114514;
int n,q,a[N],ans[N];
struct node{
int l,r,id;
bool operator < (const node &other) const{
return r<other.r;
}
}cn[N];
int pos=1,st[N],top;
ll block[N],sumb[N];
ll p2[N],sum[N],inv2[N];
void merge(){
if((1ll<<st[top]-st[top-1])>=INF||((1ll<<st[top]-st[top-1])>(INF-block[top-1])/block[top])) block[--top]=INF;
else block[top-1]=block[top-1]+(block[top]<<st[top]-st[top-1]),--top;
}
void go(int goal){
while(pos<=goal){
block[++top]=a[pos],st[top]=pos;
while(top>1&&block[top]>0) merge();
if(block[top]>=INF) sumb[top]=sum[pos];
else sumb[top]=((sumb[top-1]+block[top]%MOD)%MOD+MOD)%MOD;
++pos;
}
}
int ask(int l,int r){
st[top+1]=r+1;
int t=upper_bound(st+1,st+top+2,l)-st;
return (((sumb[top]-sumb[t-1])%MOD+MOD)%MOD*2%MOD+((sum[st[t]-1]-sum[l-1])%MOD+MOD)%MOD*inv2[l]%MOD)%MOD;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&q);
p2[0]=inv2[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&a[i]);
p2[i]=p2[i-1]*2%MOD,inv2[i]=inv2[i-1]*500000004%MOD;
sum[i]=(sum[i-1]+a[i]*p2[i]%MOD)%MOD;
}
for(int i=1;i<=q;++i) scanf("%d%d",&cn[i].l,&cn[i].r),cn[i].id=i;
sort(cn+1,cn+q+1);
for(int i=1;i<=q;++i) go(cn[i].r),ans[cn[i].id]=ask(cn[i].l,cn[i].r);
for(int i=1;i<=q;++i) printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}