中科院历年夏令营试题整理
2019
1.(15 分) 集合 \(\Omega_{n}=\{1,2, \cdots, n\}\) 的一个分划是指一族非空集合 \(\left\{B_{i}\right\}\), 满足 \(\cup_{i} B_{i}=\Omega_{n}, B_{j} \cap\) \(B_{k}=\emptyset\) (空集), \(j \neq k,\left\{\Omega_{n}\right\}\) 也算 \(\Omega_{n}\) 的一个分划. 记 \(T_{n}\) 为 \(\Omega_{n}\) 的分划个数, 例如 \(T_{1}=1\) (因 \(\Omega_{1}=\{1\}\) ), \(T_{2}=2\) (因 \(\Omega_{2}=\{1,2\}=\{1\} \cup\{2\}\) ), \(T_{3}=5, \cdots\), 求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_{n} \frac{x^{n}}{n !}\).
2.(15 分) 设 \(0 < a_{k} < \displaystyle \sum_{n=k+1}^{\infty} a_{n}, k=1,2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=1\). 如果数列 \(\displaystyle \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}\) 的子序列和 (即 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\) 的子级数) 构成的集合.
3.(10分) 设 \(f\) 为 \([0,2 \pi]\) 上连续可微函数, \(f(0)=f(2 \pi)\), 且 \(\displaystyle\int_{0}^{2 \pi} f(t) d t=0\). 探讨 \(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi}|f(t)|^{2} d t\) 与 \(\displaystyle\int_{0}^{2 \pi}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} d t\) 的关系, 并解函数方程
4.(15 分) 设 \(0 < a< b < \infty\) 为实数, \(K_{a, b}\) 为区间 \([a, b]\) 上满足 \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) d t=1\), 且 \(a f(a)=\) \(b f(b)\) 的非负, 单调降函数全体. 求 \(\displaystyle\sup _{f, g \in K_{a, b}} \int_{a}^{b} \max \{f(t), g(t)\} d t\).
5.(10 分) 设 \(A\) 为方阵, \(\operatorname{tr} A\) 为迹 ( \(A\) 的对角元之和). 讨论以下两个条件之间的关系:
(1) 存在正整数 \(k\) 使得 \(A^{k}=0\).
(2) 对任何正整数 \(k\) 都有 \(\operatorname{tr} A^{k}=0\).
6.(5 分) 计算 \(\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)^{2019}\).
7.(10 分) 设 \(A\) 为复数域上 \(n\) 阶矩阵, 非零列向量 \(x \in \mathbb{C}^{n}\) 满足 \(A x=\lambda x, \lambda \in \mathbb{C}\). 设 \(y \in \mathbb{C}^{n}\). 讨论矩阵 \(A\) 的特征值与矩阵 \(A+x y^{T}\) 的特征值之间的关系.
8.(10 分) 设 \(V, W\) 都是有限维线性空间, \(V^{\ast}\) 为 \(V\) 的对偶空间, \(L\left(V^{\ast}, W\right)\) 是从 \(V^{\ast}\) 到 \(W\) 的线 性映照全体, \(B(V \times W, \mathbb{C})\) 是从 \(V \times W\) 到复数域 \(\mathbb{C}\) 的双线性映照全体. 讨论 \(L\left(V^{\ast}, W\right)\) 与 \(B(V \times W, \mathbb{C})\) 之间的关系.
9.(10 分) 设 \(n\) 为正整数, \(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)= \displaystyle\frac{n !}{k !(n-k) !}\), 分别求以下级数之和:
(1) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)^{2}\); (2) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{3}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\).
2018
1.(15 分)设 \(\Omega_{n}\) 是含有 \(n\) 个元素的集合,如果 \(\bigcup\limits_{i=1}^{r} A_{i}=\Omega_{n}, A_{i} \subseteq \Omega_{n}\) 非空,称 \(\left\{A_{1}, \ldots, A_{r}\right\}\) 为 \(\Omega_{n}\) 的一个覆盖, \(A_{i} \neq A_{j}, r=1,2, \ldots\) 记 \(C_{n}\) 为 \(\Omega_{n}\) 的不同覆盖的个数,例如 \(C_{1}=1, C_{2}=5\). 求 \(C_{3}\).
2.(10 分)通过研究极限 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} n \sin (2 \pi e n !)\) 证明 \(e\) 是无理数
3.(15 分)设 \(p\) 为从区间 \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) 到 \([0,1]\) 的单调增连续可微函数 \(p(\theta)\) 全体构成的集合,且 \(p(0)=0, p\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\). 定义
(a) 求解极值问题 \(\displaystyle\inf\limits_{p(\cdot) \in P} \int_{0}^{\pi / 2} I(p(\theta)) d \theta\).
(b) 若 \(I(p(\theta))\) 与 \(\theta\) 无关, 求 \(p(\theta)\).
4.(15 分)函数 \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 称为超越函数, 如果不存在有限多个不全为零的数 \(a_{m n}\) 使得 \(\displaystyle\sum\limits_{m, n} a_{m n} x^{m}(f(x))^{n}=0, \forall x \in \mathbb{R}\). 请问以下函数是否是超越函数(说明理由)?
(a)多项式,(b) \(\sin x\).
5.(15 分)设 \(A, B, C \in M_{n \times n}\) 均为 \(n \times n\) 复矩阵, \(A^{\ast}\) 表示 \(A\) 的共轭转置.
(a) 讨论等式 \(A B=A C\) 与 \(A^{\ast}A B=A^{\ast}AC\) 的关系.
(b) 讨论等式 \(A^{2} B=A\) 与 \(B^{2} A=B\) 的关系.
(c) 讨论等式 \(A^{2} B=B A^{2}\) 与 \(A B=B A\) 的关系,其中 \(A\) 为正定矩阵.
6.(15 分) 设 \(A \in M_{n \times n}\) 为任意 \(n \times n\) 复矩阵, 满足 \(A A^{\ast}=A^{\ast} A\). 是否一定存在多项式 \(f\) 使得 \(A^{\ast}=f(A)\) ? 说明理由.
7.(15 分) 设 \(A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right) \in M_{n \times n}\) 为 \(n \times n\) 正定矩阵,定义 \(A \circ B=\left(a_{i j} b_{i j}\right)\). 判断以下论 断的对错,并给出理由.
(a) \(A \circ B\) 为正定矩阵.
(b) \(A \circ A^{-1} \geq I\).
(c) \(A^{1 / 2} \circ B^{1 / 2} \leq I\), 此处正定矩阵 \(A, B\) 对角线上的元素均为 1 .
2017 直博C卷
1.(20 分)
(1) 求极限
(2) 求岢数
(3) 求积分
(4) 若\(f\)是\([a,b]\)上的连续单调函数,证明:
2.(10分) 设 \(A=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)^{-1}\), 求 \(B\) 与 \(A+B\) 的特征值.
3.(10 分) 设 \(A>0, A C-B^{2}>0\), 求平面曲线 \(A x^{2}+2 B x y+C y^{2}=1\) 所围图形面积.
4.(20 分) 设 \(A\) 是 \(n\) 价正定矩脌, 证明:
是负定的.
5.(15 分) 记函数 \(f(t)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos (t x)}{1+x^{2}} d x\).
(1) 证明: \(f\) 是连续函数:
(2) 求极限 \(\displaystyle\lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)\);
(3) 证明: \(f\) 在 \([0, \pi]\) 内存在零点.
6.(10 分) 设 \(A, B\) 是线件空间 \(V\) 到 \(W\) 的线性映射, 证明: \(A(V) \subset B(V)\) 成立当且仅当存在 \(V\) 上的 线性变換 \(D\), 满足 \(A=B D\).
7.(15 分) 设正项级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\) 发散, 其中 \(a_{n} \leq M\), 证明:
(1) (7 分)
(2) (8 分)
2016
1.(10 分) 确定矩阵分別为
\(\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5\end{array}\right)\)
的二次型在下列域上是否等价:
(a) 实数域. (b) 有理数域?
2.(10 分) 设 \(W_{1}, W_{2}\) 是 \(V\) 的子空间, 如果 \(W_{1} \cup W_{2}=V\), 证明: 或者 \(V=W_{1}\), 或者 \(V=W_{2}\).
3.(15 分) 设 \(V\) 是 \(n\) 维实问量空间, \(\varphi: V \rightarrow V\) 是线性映射. \(\chi_{\varphi}(t)=\left(t-\lambda_{1}\right) \cdots\left(t-\lambda_{n}\right),\left(\lambda_{i} \in C\right)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式.
试证明: 或者 \(\lambda_{i} \in \mathbf{R}(1 \leq i \leq n)\), 或者 \(V\) 有一个 2 维不变子空间 \(W \subset V\), 使 \(\varphi | w\) 的特征多项式不可约.
4.(15 分) 设 \((V,<,>)\) 是 \(n\) 维区氏空间, \(V^{\ast}\) 表示由所有线性函数 \(V \rightarrow \mathrm{R}\) 组成的对偶空间. 试证明:
(1) 映射 \(V \rightarrow V^{\ast}, v \mapsto<;, v>\) 是线性同枃.
(2) 对任意线性映射 \(f: V \rightarrow V \mathrm{~ . ~ }\)验证映射
是对偶空间的线性映射.
(3) 对任意线性映射 \(\varphi :V\to V\),存在唯一的线性映射\(V^{\ast}:V \to V\)满足,$ < \varphi(x),y > = \quad < x,\varphi^{\ast}(y) >,\forall x,y\in V$.
5.(10 分) 证明: 当 \(x \rightarrow 1^{-}\)时,
6.(10 分) 证明: 圆的所有外切三角形中,以正三角形的面和为最小.
7.(15 分) 设 \(\varphi(x)\) 表示实数 \(x\) 与其最近整数间之差的绝对值. 令
证明:
(1) (5 分). \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上处处连续;
(2) (10 分). \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上处处不可徶.
8.(15 分) 设 \(f(x) \in C[0,+\infty)\), 且对任何非页实数 \(a\), 有
证明: 存在 \(g(x) \in C[0,+\infty)\) 和 \(h(x) \in C^{1}[0,+\infty)\), 使得: \(f(x)=g(x)+h(x)\), 且滴足
2015
-
对那些实数\(a\),级数\(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n})^a\)是收敛的.
-
设 \(y\) 是 \([0,1]\) 上 \(C^{2}\) 光滑实函数, 满足方程
且 \(y(0)=y(1)=0\). 试证 \(y(x) \equiv 0, x \in[0,1]\).
- 设 \(f\) 是 \(\mathbf{R}^{2}\) 上的有界连续实函数, 定义
试证 \(g(x)\) 是 \(\mathbf{R}\) 上的连续函数.
- 设 \(f\) 是 \([1,+\infty)\) 上连续可微类函数. 满足 \(f(1)=1\), 且
试证 \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) 存在且不超过 \(1+\frac{1}{4} \pi\).
- 设 \(f\) 是 \([0,1]\) 上连续实函数, 计算下列极限并证明你的结论:
(1). \(\displaystyle\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) d x\);
(2). \(\displaystyle\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n \int_{0}^{1} x^{n \prime} f(x) d x\).
- 对整数 \(a, b\), 定义 \(a=b(\bmod m)\) 当且仅当 \(m \mid(a-b)\) (即 \(m\) 整除 \(a-b)\). 正整数 \(m\) 取
-
设 \(\theta\) 是实数, \(n\) 是自然数, 求 \(\left(\begin{array}{cc}e^{-i \theta} & 2 i \sin \theta \\ 0 & e^{i \theta}\end{array}\right)^{n}\).
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设 \(A, B \in M_{n \times n}(\mathrm{C})(n\) 复矩阵). 回等以下问题并说明理由:
(1) \(A B\) 与 \(B A\) 是相似?
(2) \(A B\) 与 \(B A\) 是否有相同的特征多项式?
(3) \(A B\) 与 \(B A\) 是否有相同的极小多项式?
-
证明实数域上的有限维线性空间不可能是有限个真子空间的并,再讨论有限域的情形.
-
设\(T:V\to V\)是复数域\(\mathbb{C}\)上的有限维线性空间\(V\)上的幂零算子,\(I\)是单位算子,求线性算子 $ S, Q$ 使得 $ S^{2}=I+T, Q(I+T)=I $
2015山东
- \(\forall r=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}, \cdots\right) \in S\) 为 Canchy 列. 定义两个 \(r, r^{\prime}\) 等价为 \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-a_{n}^{\prime}\right)=0, r^{\prime}=\) \(\left(a_{1}^{\prime}, \cdots, a_{n}^{\prime}, \cdots\right)\), 证明: 存在一个映射 \(\varphi: S \times S \rightarrow S\) 使得
- (1).\(n\) 为正整数, \(\mathrm{R}\) 为实数域. 敘述 \(\displaystyle \mathrm{R}^{n}\) 中开集定义:
(2) \(f(x)\) 为 \([0,1]\) 上的复值函数, 叙述Riemann 积分 $ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x$ 定义.
3.
求 \(Y, Z\) 使得
(1) \(Y+Z=X\)
(2) \(Y\) 为幂零矩阵;
(3) Z 可对角化
(4) \(Y Z=Z Y\).
- \(V\) 为一个 100 维空间.
定义等价类 \(\left(V_{1}, V_{2}, V_{3}\right) \cong\left(V_{1}^{\prime}, V_{2}^{\prime}, V_{3}^{\prime}\right)\) 为:\(\exists\) 同构 \(\varphi: V \rightarrow V^{\prime}\) ,使得 \(\varphi\left(V_{i}\right)=V_{i}^{\prime}(i=1,2,3)\).
求出 \(V\) 中等价类的个数.
- \(f(t)\) 为无穷次可微函数, \(f(t+1)=f(t)\). 定义
对于任意多项式 \(g(x)=a_{k} x^{k}+\cdots+a_{1} x+a_{0}\). 证明: \(g(n) \varphi(n)\) 有界.
- 存在有维维线性空间 \(W\) 上定义 \((u, v)\) 满足
(1) \((u, v)=-(v, u)\);
(2) \(\left(a_{1}+u, v\right)=\left(a_{1}, v\right)+(u, v)\)
(3) 对于 \(\forall u \in W\), 使得 \(\exists v \in W\), 使得 \((u, v) \neq 0\).
证明: \(W\) 为偶数阶的
2015 南开
-
求级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)(2 n+1)}\);
-
已知 \(S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, h \neq R\), 求 \(\displaystyle\iint_{S} \frac{d S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-h)^{2}}}\);
-
已知 \(f(x)\) 非线性, 求证
- (1) 设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵. 证明: \(A\) 是幂零的等价于 \(A\) 的特征多项式 \(f(\lambda)=\lambda^{n}\);
(2) 求行列式 \(\begin{pmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_{1}^{r-2} & \lambda_{2}^{r-2} & \cdots & \lambda_{r}^{r-2} \\ \lambda_{1}^{r} & \lambda_{2}^{r} & \cdots & \lambda_{r}^{r}\end{pmatrix}\) 的
(3) 设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵, 证明: \(A\) 是幂零的等价于 \(\operatorname{tr}\left(A^{p}\right)=0,0 \leq p \leq n\);
(4) 定义 \([A, B]=A B-B A\). 证明: 若 \([[A, B], A]=0\), 则 \([A, B]\) 幂零的:
(5) 证明: \([[A, B], C]+[[B, C], A]+[[C, A], B]=0\).