证明：
若 \(A_{m\times n}\times B_{n\times l}=C\)，且 \(R(A)=n\)，则 \(R(B)= R(C)\)。
证：
因 \(R(A)=n\)，知 \(A\) 的行最简形矩阵为 \(\left(\begin{array}{c|c} E \\ \hline B_2 \end{array}\right)_{m\times n}\)，并有 \(m\) 阶可逆矩阵 \(P\)，使 \(PA = \left(\begin{array}{c|c} E \\ \hline 0 \end{array}\right)\)。于是
\[PC=PAB=(
\begin{matrix}
E_{n}\\
0
\end{matrix})B=(
\begin{matrix}
B\\
0
\end{matrix})
\]
由矩阵秩的性质：初等行变化不改变矩阵的秩，知 \(R(C)= R(PC)\)，故
\[R(C) = R(B)
\]
本例中的矩阵的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵，当 \(A\) 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵，因此，本例的结论当 \(A\) 为方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的性质④。
本例另一种重要的特殊情形是 \(C=0\)，这时结论为
设 \(AB=0\)，若 \(A\) 为列满秩矩阵，则 \(B=0\)。
这是因为，按本例的结论，这时有 \(R(B)=0\)，故 \(B=O\)。这一结论通常称为矩阵乘法的消去律。