前言
给定余弦值(正弦值)连乘形式求值，本质属于三角函数中的给角求值类问题，这类题目的特点比较明显：①余弦值连乘形式；②给定的角一般都不是特殊角，但相互成倍数关系；③分母为\(1\)，给分子分母同时乘以最小角的 \(2\) 倍正弦[比如例 \(1\) 的 \(2\sin\cfrac{\pi}{17}\) ]后，就能连续多次逆向使用二倍角正弦公式；④最后能将开始所乘的最小角的 \(2\) 倍正弦[比如例 \(1\) 的 \(2\sin\cfrac{\pi}{17}\) ]给约掉，从而求出值。
解题经验：①化角：若给定的角不是倍角关系，常常利用互余互补关系转化为倍角关系；②化函数形式：若给定的是正弦值连乘形式，可以利用互余关系将正弦值连乘形式转化为余弦值连乘形式[比如 \(\sin10^{\circ}=\cos80^{\circ}\)]。
典例剖析
分析：\(\cos\cfrac{\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{\pi}{17}\cos\cfrac{\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2\sin\cfrac{\pi}{17}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2\sin\cfrac{\pi}{17}}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2^2\sin\cfrac{\pi}{17}}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{17}}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{8\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2^4\sin\cfrac{\pi}{17}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{16\pi}{17}}{2^4\sin\cfrac{\pi}{17}}\)
\(=\cfrac{sin\cfrac{\pi}{17}}{2^4\sin\cfrac{\pi}{17}}\)
\(=\cfrac{1}{16}\)
解： 原式\(=\cos\cfrac{\pi}{7}\cdot(-\cos\cfrac{4\pi}{7})\cdot(-\cos\cfrac{2\pi}{7})\)
\(=\cos\cfrac{\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2^2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{4\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2^2\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{2\sin\cfrac{4\pi}{7}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{7}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{7}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{8\pi}{7}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{7}}=-\cfrac{\sin\cfrac{\pi}{7}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{7}}=-\cfrac{1}{8}\)
解：原式\(=\cfrac{1}{2}\sin10^{\circ}\sin50^{\circ}\sin70^{\circ}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cos80^{\circ}\cos40^{\circ}\cos20^{\circ}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}\)