数学基础
单变量微积分
隐式函数求导
\[f(x)+g(y)=C
\]
两边取 \(x\) 的导
\[\frac d {dx} f(x)+ \frac d {dy}g(y)*\frac {dy}{dx}=0
\]
化简
\[\frac {dy} {dx}= - \frac {f'(x)} {g'(y)}
\]
无穷小量
\(x\) 的变化趋于 0 ，\(\Delta x\) 也趋于0，则 \(\Delta x\) 为 \(x\) 的无穷小量 \(dx\)
线性近似
\[f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)
\]
\[f'(x_0)=\lim_{x \to \infty} \frac{\Delta f}{\Delta x}
\]
\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \approx f'(x_0)
\]
使用下无穷小量
\(dy=f'(x)dx\)
\[f(x+dx) \approx y + f'(x)*dx = y + dy
\]
例如
当 \(x=0\) ，求 \(\frac{e^{-3x}}{\sqrt{1+x}}\)
\[f(x)=\frac{e^{-3x}}{\sqrt{1+x}}=e^{-3x}(1+x)^{\frac 1 2 }
\]
开导：
\[f'(x)=-3e^{-3x}(1+x)^{\frac 1 2} + (e^{-3x})(-{\frac 1 2}(1+x) ^ { - \frac {3} {2} })
\]
\[f'(0)=- \frac 7 2
\]
\[f(x) \approx f'(0)*x+f(0)=1-\frac 7 2 x
\]
OR
当 \(x \approx 0\) , \(e^x = 1+x,(x+1)^n = 1 + nx\)
\[(e^{-3x}*(1+x)^{-\frac 1 2}) \approx (1-3x)(1-\frac x 2)=1-\frac 7 2 x + \frac 3 2 x^2
\]
舍去高阶 \(\frac 3 2 x^2\)
得 \(1 - \frac 7 2 x\)