方阵的特征值与特征向量

特征方程

定义：设\(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\)是n阶方阵，若有λ和非零向量x，使得

\[\tag{1} Ax=λx \]

成立，则称λ为方阵A的特征值，非零向量x为A的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。

式(1)可写成，

\[\tag{2} (A-λI)x=0 \]

式(2)是关于x的齐次线性方程组，根据线性方程组解的存在定理，方程组有非零解（向量x≠0）的充要条件是系数行列式为0，即

\[\tag{3} det(A-λI)=0 \]

即

\[\tag{4} \begin{vmatrix} a_{11}-λ & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-λ & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-λ \end{vmatrix} =0 \]

式(4)是关于λ的n次方程，称为方阵A的特征方程。左端det(A-λI)是λ的n次多项式，记为f(λ)，称为方阵A的特征多项式.
于是，特征方程(4)的根就是方阵A的特征值，方程组(2)的非零解向量x就是方阵A的对应于特征值λ的特征向量.

思考：为什么方程组Ax=0有非零解，应用系数行列式是否为0，而不是应用克拉默法则？
答克拉默法则是适用于方程组Ax=b有解的情形，并不排除零解的情况。

例，求方阵\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\1 & 2 & -1\\2 & 2 & -1 \end{bmatrix}\)的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式：

\[\begin{aligned} \begin{vmatrix} A-λI \end{vmatrix} &=\begin{vmatrix} 1-λ & 2 & -1\\ 1 & 2-λ & -1\\ 2 & 2 & -1-λ \end{vmatrix}\\ &=(1-λ)\begin{vmatrix} 2-λ & -1\\ 2 & -1-λ \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & -1-λ \end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix} 1 & 2-λ\\ 2 & 2 \end{vmatrix}\\ &=-λ(λ-1)^2 \end{aligned} \]

方阵A有非零解的充要条件是\(A-λI=0\)，因此A特征值：\(λ_1=0, λ_2=λ_3=1\)
1）当\(λ_1=0\)时，对应特征向量满足\(Ax=0\)，又有

\[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 1 & 2 & -1\\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -{1\over 2}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

于是，\(\begin{cases} x_1=0\\ x_2={1\over 2} x_3\end{cases}\)，从而基础解系：

\[p_1=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \]

因此，\(λ_1\)对应特征向量为\(k_1p_1(k_1\neq 0)\).

2）当\(λ_2=λ_3=1\)时，对应全部特征向量满足\((A-E)x=0\)，又

\[A-E=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -{1\over 2}\\ 0 & 1 & -{1\over 2}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

于是，\(x_1=x_2={1\over 2}x_3\)，从而基础解系：

\[p_2=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \]

因此，\(λ_2,λ_3\)对应全部特征向量为\(k_2p_2(k_2\neq 0)\).

特征子空间

A的特征值是特征方程(3)的解，A的属于特征值\(λ_j\)的特征向量就是齐次线性方程组

\[\tag{5} (A-λ_jI)x=0 \]

的非零解。称方程组(5)的解空间\(N(A-λ_jI)\)为A的关于特征值\(λ_j\)的特征子空间. 此特征子空间中除零向量外，其余向量全都是A的属于特征值\(λ_j\)的特征向量.

定义：齐次线性方程组(5)的解空间的维数称为特征值\(λ_j\)的几何重数.

因为齐次线性方程组\((A-λ_jI)X=0\)的基础解系中解向量的个数等于n减去方阵\(A-λ_jI\)的秩，所以\(λ_j\)的几何重数等于\(n-r(A-λ_jI)\)，即

\[\tag{6} dim N(A-λ_jI)=n-r(A-λ_jI) \]

例，设\(A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\)，求A的特征值、特征向量和特征子空间.
解 A特征多项式为

\[det(A-λI)=\begin{vmatrix} -1-λ & 1 & 1\\ 1 & -1-λ & 1\\ 1 & 1 & -1-λ \end{vmatrix}=(1-λ)(λ+2)^2 \]

特征值：\(λ_1=1,λ_2=λ_3=-2\).

对于\(λ_1=1\)，解齐次线性方程组\(A-1\cdot x=0\)，

\[\begin{aligned} A-1\cdot I &=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\ 1 & -2 & 1\\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\ 0 & -3 & 3\\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

于是，\(x_1=x_3, x_2=x_3\)，基础解系\(p_1=(1,1,1)^T\)
因此，特征值\(λ_1=1\)的所有特征向量为\(k_1p_1=k_1(1,1,1)^T (k_1\neq 0)\).

对于\(λ_2=λ_3=-2\)，

\[A-(-2)\cdot I=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

因为矩阵秩\(R(A-(-2)I)\)为1，因此几何重数为\(n-1=2\).

得一个基础解系\(p_2=(-1, 1, 0)^T, p_3=(-1, 0, 1)^T\)
因此，特征值\(λ_2=λ_3=-2\)的所有特征向量为\(k_2p_2+k_3p_3=k_2(-1,1,0)^T+k_3(-1,0,1)^T (k_2,k_3\neq 0)\)

A关于特征值1的特征子空间：\(\left\{ x|x=c(1,1,1)^T, c\in R \right\}\).
A关于特征值-2的特征子空间：\(\left\{ x|x=c_1(-1,1,0)^T+c_2(-1,0,1)^T, c_1,c_2\in R \right\}\)