又来开新坑，开心。
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一些声明，思想和数学基础
0.1. \(Euler\) 法和 \(Lagrange\) 法
0.1.1. \(Euler\) 法与 \(Lagrange\) 法最本质的区别是 \(Euler\) 关注的是整个物理过程的“场”，而 \(Lagrange\) 更关注参与物理过程的“物质”。以流体力学为例， \(Euler\) 关心某个控制体 \(V\) 的性质（如密度，质量等）随时间的变化（即“定位置动物质”），但 \(Lagrange\) 关心某一个微小的流体元 \(\Delta\) 随时间的变化（即“定物质动位置”）。这直接导致了 \(Euler\) 法将对体积作微分而 \(Lagrange\) 法将对物质作微分，或者说一个解出的函数是对某个控制体的描述而另一个会解出对某个微小流体元的函数。导致的另一个不同是 \(Euler\) 法必须将密度 \(\rho\) 视作对于 \(\mathbf r\) 的函数，\(Lagrange\) 法因为对某个流体元而言可以将 \(\rho\) 视作常数（一个形象的比喻是广场和人， \(\rho\) 刻画了拥挤度，请自行思考）。从思想上来看 \(Lagrange\) 更偏向 \(Newton\) 经典力学的假设，即将物质视作质点，但区别是一个宏观物质还是一个微小物质（此时变成了很多很多质点的集合）。当然两者只是研究对象不同，在积分意义下将得到同样的普适于全体空间的解。
0.1.2. \(Lagrange\) 法的好处是显而易见的，它可以规避掉对质量和体积的定义而只使用符号 \(\Delta M,\Delta V\) 来注记，因为对某个物质点来说它们之间并没有优势，甚至可以以一个确定的状态（通常是初状态或者使介质分布均匀的对称状态）来求出一些“常数”的值。
0.1.3. \(Euler\) 法的好处不太明显，可能是它对数学天才来说比较好理解，但最重要的在于它可以为所有物理量给出明确的定义。因为可以把它们全部抽象化成满足一些偏微分方程的函数（不论是不是常函数）即依赖一些方程来定义，而那些方程总是正确的。
0.1.4. 在推导过程中应明确 \(Lagrange\) 法的结论与 \(Euler\) 法的结论通常会差距一个积分符号，即前者一般推出的即直接是微分形式而后者会率先得到积分形式的方程。
0.1.5. 下文中对流体力学核心方程 \(Euler\) 方程组的推导可能会使用不同方法，会在上一级标题中注明。但有些函数由于排版限制会省略自变量而使它看上去像个常数，此时应结合推导方法理解。
0.2. \(\nabla\) 算子
0.2.1. \(\nabla\) 算子点积一个矢量（场）函数 \(\mathbf f\) ，将得到 \(\mathbf f\) 的散度，亦写作 \(\mathrm{div}(\mathbf f)\) ，若某偏微分方程内出现了 \(\nabla\) 或 \(\mathrm{div}\) 即意味着在笛卡尔系的三个方向上作分解可得到对三个标量的偏微分方程，而它们均满足原微分方程的形式。（在三维矢量场中对应通量）
0.2.1.1. \(\nabla\cdot\mathbf v=\mathbf v\cdot\nabla=\frac{\partial}{\partial x}v_x+\frac{\partial}{\partial y}v_y+\frac{\partial}{\partial z}v_z=\mathrm{div}(\mathbf v)\) 。
0.2.2. \(\nabla\) 算子直接作用于一个标量函数 \(f\) ，将得到 \(f\) 的梯度，是一个向量。作用于矢量函数 \(\mathbf f\) 将得到更高阶的张量。
0.2.3. \(\nabla\) 算子叉乘（ \(\times\) ）一个三维矢量（场）函数 \(\mathbf f\) ，将得到 \(\mathbf f\) 的旋度，亦写作 \(\mathrm {curl}(\mathbf f)\) ，是一个矢量。（在三维矢量场中对应环量）
0.3. 在接下来的叙述中矢量均以黑体表示，所涉矢量函数均可笛卡尔分解。特别地，认为位置是一个矢量。
0.4. 莱布尼茨律：\(\frac{\mathrm d(\int_a^b F(i,j)\mathrm di)}{\mathrm dj}=\int_a^b\frac{\partial F(i,j)}{\partial j}\mathrm di\) 。即积分与微分顺序的可交换性。
0.5. 研究对象和原理到理论的变换思想
0.5.1. 研究对象：下文中研究对象（也作“对象”）的定义类似于英语中的 \(Object\) 。它本身可量化的成分只有数字 \(1\) （因为它不是复数），而不要求指向某一具有任何可描述出具体性质的东西。可以称一块石头是研究对象，水是研究对象，也可以称一杯水是研究对象，称石头丢到水里的过程是研究对象。
需要注意的是，当研究对象确定后，它就具有了一些性质，我们需要把具象的东西抽象化才能使用数学工具。
“想象自己在用原木做一块木雕，我们需要削去不必要的冗杂的部分（此时应当是削得越狠效率越高）而保留需要的部分（此时应当是做得越精细成品效果越好）。这一规律在处理数理问题上同样适用，只是在处理数理问题时需要遵从一定的规则。这些规则可以是底层的公理系统，也可以是某些定理系（这属于打包好的规则）。我们利用它们来削去不必要的部分，此步骤的逻辑基础是等价关系的必要性，削木头时的“效率”在此处可以类比成“能否在计算力能力内得到解答”，因为再不济可以祭出强大的分类讨论思想（一个很典型的例子是数论中的剩余系法）。显而易见的，只要它可以分解成有限的规则的并，在理论上这个问题必有解。在某些时候这完全足够处理掉给定的问题，如果给定的结论包含于条件中。而更强的命题给定的结论与条件完全等价，此时最原始的方法是交换结论与条件重新做一遍，或者更高级一点地证逆否命题的正确性，当然也可以检验步骤的充要性来说明所有步骤均为等价变换。一个很好的消息是基本上很难的问题都是结论（组）与条件（组）等价的，因为这就是它难的地方。”
0.5.2. 对象的描述：将一个自然语言语句翻译成数理语言语句时，最基本的要求有二：
0.5.2.1. 完整性要求：翻译后的语句应当唯一确定研究的对象，能将其他任何对象与声明的对象区分开，属于等价变换。
0.5.2.2. 凝练性要求：翻译后的语句应是足够描述研究对象的最简单方式，不应出现冗余的声明，属于有效描述。
0.5.2.3. 推论：若对象选取的是一类物体，则应当描述其通性而摒弃因特称带来的特异性质；若对象选取的是一个过程，则只需考虑参与体具有的能够影响这一过程的性质。
0.6. 张量
0.6.1 张量：如同向量是标量的扩充一般，张量可以视作向量的扩充。张量类似于计算机编程语言中的结构体，但又不局限于用有限的数组描述（事实上如果它可以被有限的数组描述当然就可以用向量甚至标量的列举法表示出来）。这是我们需要张量这一概念的原因，而从它的来源可以看出我们可以称一个向量或者一个标量是一个特殊的张量，正如你也可以认为一个标量是一个特殊的向量一样。我们可以粗浅地认为，在物理学上，只是因为无法用一个值描述某个点的位置（即使你试图给空间编号也将由于 \(\R^3\) 的非离散而难以成功）所以出现了向量，与此相对的，只是因为无法用一个向量去描述某个具有体积可形变的物体的位置（因为为了描述它的位置，我们需要描述它里面的所有的点的位置。这些“无限多”的点的个数同样占据了一个异于空间维度的无限的维度（不妨称作 \(\C\) ），而 \(\R^3\times\C\) 是一个不一定可用矢量描述的东西）而产生了张量。
0.6.2. 实际问题1/对上文“不一定”的解释：在刚体物理学或 \(Newton\) 经典力学中位置可以被描述为一个矢量，因为各个”点“的相对位置可以被确定，例如确定一个几何中心再以此中心建立笛卡尔系就可以用另外一个三维向量决定某个点的位置，而由于刚体的性质，这个新建立的关于相对位置的向量映射是一个不随其他自变量的改变而改变的映射，所以只需要确定这个“中心”的位置再施以一个确定的变换法则即可确定整个物体的位置。此时它可以为矢量描述。而在弹性物理学中由于形变方向的不确定性，我们只能说某两个点 \(a,b\) 之间的相对位置具有“或许”某种函数关系 \(f\) ，而若再记描述点 \(a\) 的位置的函数之于基本变量（如时间 \(t\) 等）的关系为 \(g\) ，我们就需要用一个二元对 \((f,g)\) 来描述另外一个点 \(b\) 的位置。这显然不应当是一个“二维向量”因为它的元素变成了两个映射，更致命的是点 \(b\) 的选取是无限制的，这意味着这样的二元对之于某个 \(a\) 将会存在无数多个。此时它就无法为矢量描述。
0.6.3. 实际问题2：（注意研究对象是连续介质力学意义下的某一物体）考虑应力张量 \(\sigma_{ij}=\lim_{\Delta S_i\to 0}\frac{\Delta F_j}{\Delta S_i}\) ，其中 \(i,j=(1,2,3)\) 为笛卡尔坐标系下的三个方向， \(\Delta F_j\) 为在 \(j\) 方向上的施力， \(\Delta S_i\) 为在 \(i\) 方向的受力面积（即只考虑有效压力），则结合正向应力和剪应力的定义即知道 \(\sigma_{ii}\) 为正向应力而其余的均为剪应力，此时应力张量 \(\sigma\) 即包含了 \(6\) 个标量，当然也就可以用列举法表现。
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流体的描述
1.1. 连续介质假设：称研究可变形，宏观的物质（如固体或液体）的力学性质的力学学科为连续体力学。它赋予一个具有可微分化整体性质（如密度，位置，压强，位移，速度等）的物质连续体的概念。此理论认为其研究对象是均匀分布在空间范围内的，其间没有空隙，于是可以将”场“的概念套用到微分后各微量物质点的描述上，从而以（至少是按段）连续函数来刻画物理过程。当然事实上原子间存在空隙，所以它要求研究的对象足够宏观，以允许忽略其整体上对结果的影响。称“流体可划分成无数个微量流体元”的假设为流体的连续介质假设（当然在流体力学之外可以不是流体而是某种连续体）。它是一个理想模型。
1.2. 流体的压强：在流体中取一个点（ \(Euler\) 法作位置点，\(Lagrange\) 法作物质点，下以 \(Euler\) 法为基准），作一个极小的面 \(\Delta A\) 包裹住这个点，则流体压强的定义为这个面在受到的力 \(\Delta F\) 与面在这个方向上的面积的比值 \(p=\lim_{\Delta A\to 0}\frac{\Delta F}{\Delta A}=\frac{\mathrm dF}{\mathrm dA}\) 。注意这个面可以是有限平面（对应静止流体）或闭合曲面（运动流体），但由于可以对时间求偏导此处作统一说明。平面和曲面的区别在于是否具有方向性，此区别可以参考 (0.6.3.) 的应力的定义。
1.3. 流体的密度：同压强定义，取一点作一个闭合曲面 \(\Delta S\) ，体积 \(V\) 包裹住这个点，定义流体密度为 \(\rho=\lim_{V\to0}\frac{M}{V}=\frac{\mathrm dM}{\mathrm dV}\) （后续会看到在某个足够小的点处两法均须视作常数而在某个具有确定体积的控制体处两法均须视作函数）。
1.4. 流体的温度：由于理想气体属于流体的一种，可以类比理想气体状态方程来定义流体的温度，此处略过。
1.5. 流体的速度：现在为了统一 \(Euler\) 法与 \(Lagrange\) 法，声明某一位置点的速度依赖某一时刻占据此位置点的某个物质点的速度定义，且它们具有相同的意义。称某一给定流动过程 \(\Tau\) 中各位置上的流速矢量全体的集合为速度场，是一个宏观描述流动过程 \(\Tau\) 的概念，记作 \({\mathbf v(\mathbf r,t)}\) 。其中 \(\mathbf r\) 指定了某一个位置， \(t\) 指定了某一个时刻。这使得我们统一了各个流动过程而不必讨论诸如墨水与纯水，在河里流动与在杯子里流动，今天发生的流动和明天发生的流动等等的区别，因为它们均已作为参数影响这个矢量场函数。
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流动过程的描述方式
对于宏观上的一个流动过程，由于研究的是连续流体，我们通常是无法观察得到一个子流动（比如从起点流到终点的一个流动过程）内的流体的具体位移过程的。虽然可以通过某些方法（例如红墨水随水做整体流动）来实现可视化，但此表现仍然是偶然的，因为它并不像我们需要的只依赖于 \(t,\mathbf r\) ，其可能存在一些干扰条件如水的纯净度而这并不是所有流动过程的通性。
2.1. 流线：由于速度场是连续函数（关于 \(t\) 连续同样关于 \(\mathbf r\) 连续，我们这里先考虑对 \(\mathbf r\) 的连续性），容易验证存在一个唯一的曲线系使得对于任意一个位置，存在至少一条曲线经过使其在此处的切线方向和速度方向相同，我们把这条曲线叫做流线，这些曲线的集合叫做流线簇。它是一个假想模型。
2.1.1. 流线的定义式：由 \(\mathbf r=(x(\mathscr l),y(\mathscr l),z(\mathscr l))\) （ \(\mathscr l\) 为曲线沿前进方向的距离），显然有 \(\mathrm d\mathscr l^2=\mathrm d\mathbf r\cdot\mathrm d\mathbf r=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2\) (a) 。将上式作简单变形可得 \(\frac{\mathrm d\mathbf r(\mathscr l)}{\mathrm d\mathscr l}\cdot\frac{\mathrm d\mathbf r(\mathscr l)}{\mathrm d\mathscr l}=1\) ，由流线的定义，流线在某一点处的切线应即是此位置的速度方向所在直线（此处将流线视作关于位置的连续函数），故其切向量应满足 \(\frac{\mathrm d\mathbf r(\mathscr l)}{\mathrm d\mathscr l}=\frac{\mathbf v(\mathbf r,t)}{|\mathbf v(\mathbf r,t)|}\) (b) （右式即单位矢量）。称 (a) 与 (b) 为流线的定义式，因为它们可以也足够描述一条流线。
仍然考虑一个简单的流动过程，在 \(t\) 时刻下存在的流线簇完全可能与 \(t'\) 时刻下存在的流线簇长得不一样，而为了研究某一微量流体元实际上的运动路线，以及曾经流过某一确定位置的所有微量流体元，将如下定义一些区别于流线的物理概念。
2.2. 流迹线：某一微量流体元的实际流动路径的曲线。
2.3. 流脉线：曾经流过某一点的所有微量流体元所组成的一条曲线。
容易看出，若一个流动过程的速度场 \(\mathbf v(\mathbf r,t)\) 不随时间改变（即称它为定常流动），那么它的流线，流迹线和流脉线也将会不随时间改变，更进一步的，它们将一一对应相等。
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连续方程式（质量守恒）（ \(Euler\) 法）
脱离了牛顿经典力学（因为我们承认物体具有不可忽视的大小而不再以整体为研究对象），我们能够利用的除了纯数学提供的数学工具（特指微积分），仅仅剩下质量守恒，动量守恒和能量守恒三大守恒定律提供的等式，这里先考虑质量守恒。
3.1. 控制体的质量：称一片区域 \(V\) （ \(\sim \R^3\) ）（下亦作控制体）中所含有的质量总和 \(M\) 为 \(V\) 中的流体质量。由控制体内某一微小体积 \(\Delta V\) 的质量满足质量守恒方程 \(\Delta m(t)=\rho(t)\cdot\Delta V=\rho(t)\mathrm dV\) ，两边同作积分即有 \(M(t)=\int_V\rho(\mathbf r,t)\mathrm dV\) ，称此式所确定的 \(M(t)\) 为 \(t\) 时刻下 \(V\) 中的流体质量。
其次，对一个控制体，我们所持有的质量守恒则描述了下面一个恒等式：
3.2. \(控制体的质量净增量\equiv 流入控制体的流体质量-流出控制体的流体质量\) 。
这要求我们继续写出净流入控制体的流体质量。
3.3. 表面面积，微小表面面积和表面面积向量：称 \(V\) 的表面 \(S\) 为表面面积，对 \(S\) 的微分 \(\mathrm dS\) 为微小表面面积（因为我们希望它不是曲面而是平面），而表面面积向量 \(\mathbf S\) 由式子 \(\mathrm d\mathbf S=\mathbf n\mathrm dS\) 确定，其中 \(\mathbf n\) 为 \(\mathrm dS\) 平面的向外的单位法向量。仍然根据基本的质量守恒，从 \(\mathrm dS\) 中流出的流体体积应为 \(|\mathbf v(\mathbf r,t)|\cdot\cos\theta\mathrm dS\mathrm dt\) （其中 \(\cos\theta\) 为 \(\mathbf v\) 与 \(\mathbf n\) 的夹角的余弦值），代入 \(\mathbf S\) 即可写作 \(\mathbf v(\mathbf r,t)\mathrm d\mathbf S\mathrm dt\) （显然 \(\mathbf n\) 中含有 \(\cos\theta\) ，这里微分算子 \(\mathrm d\) 内外矢（标）量形式的统一并不是粗略地把 \(\mathrm d\) 看作除号，而是因为两个矢量点积为标量）。
当然这并非我们需要的质量——因为体积并不守恒——所以需要乘上密度函数。另外可以说明 \(\int_S\mathbf v\mathrm d\mathbf S=\Phi_\mathbf v(S)\) 即为曲面 \(S\) 的速度场向量通量。
3.3. 经过时间 \(t\) 从 \(S\) 流出的所有流体的质量：很显然应当是对上式求积，即 \(\int_S\rho(\mathbf r,t)\mathbf v(\mathbf r,t)\mathrm d\mathbf S\mathrm dt\) 。经过适用简单的散度定理变换处理将会得到 \(\int_S\rho(\mathbf r,t)\mathbf v(\mathbf r,t)\mathrm d\mathbf S\mathrm dt=\int_V\nabla(\rho(\mathbf r,t)\mathbf v(\mathbf r,t))\mathrm dV\mathrm dt\) ，其中 \(\nabla\) 为 \(nabla\) 算子 (0.2.) ，在此处 \(\nabla=(\frac\partial{\partial x},\frac\partial{\partial y},\frac\partial{\partial z})\) 。记 \(\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=\mathrm{div}(\rho\mathbf v)\) ，则结合原理 (3.2.) 可得质量守恒方程： \(M(t)+\int_V\mathrm{div}(\rho\mathbf v)\mathrm dV\mathrm dt=0\) (c) 。
*3.3.1. \(Gauss\) 散度定理： \(Gauss\) 散度定理在空间体积与表面积的关系上写作 \(\int_V \mathrm {div}(\mathbf F)\mathrm dv=\int_S\mathbf F\mathrm d\mathbf S\) ，其意义为向量场在空间中某一封闭曲面体积内的散度积分等于通过其表面积的通量积分。其证明暂略。当然 \(\int_V\) 应当写作 \(\iiint_V\) 而 \(\int_S\) 应当写作 \(\iint _S\) 或 \(\oint_S\)，但此处为叙述统一全作单积分符号的书写，并会在必要处指明其物理意义。
当然这并不是所要的“单位时间内”的质量守恒方程。对 (c) 作同除 \(\mathrm dt\) 的”抽离“，则有 \(\frac {\mathrm dM(t)}{\mathrm dt}+\int_V\mathrm{div}(\rho\mathbf v)\mathrm dV\) 。又由莱布尼茨律 (0.4.) 得 \(\frac{\partial M(t)}{\partial t}=\frac{\partial(\int_V\rho(\mathbf r,t)\mathrm dV)}{\partial t}=\frac{\partial(\int_V\rho(\mathbf r,t)\mathrm dV)}{\partial t}=\int_V\frac{\partial(\rho(\mathbf r,t))}{\partial t}\mathrm dV\) ，故原式相当于 \(\int_V[\frac{\partial(\rho(\mathbf r,t))}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\mathbf v)]\mathrm dV=0\) 。
3.4. 连续方程式：称式 \(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\mathbf v)=0\) 为流体连续方程式，它即是质量守恒。
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欧拉方程式（动量守恒）
仍需写出自然语言下的动量守恒则：
4.1. \(某微量流体元动量的增量=合外力冲量\) 。（ \(L\) ）
4.2. \(Lagrange\) 法：这里将对某一个微量流体元进行讨论。
4.2.1. 微量流体元的速度变化：对一个微量流体元来说， 在某一小段时间 \(\Delta t\) 中其运动的方向由 \(\mathbf v\) 确定，初末位置由 \(\mathbf r\) 描述，则应有 \(\mathbf r(t+\Delta t)=\mathbf r(t)+\mathbf v(t,\mathbf r(t))\Delta t\) (d) （只考虑 \(\Delta t\) 的线性主部，因为误差 \(O(\Delta t^2)\) 小到足够忽略）。而确定了后继位置后，需要考虑的对象变成了后继速度，所以对 \(\mathbf v(\mathbf r(t+\Delta t),t+\Delta t)\) 代入 (d) ：\(\mathbf v(\mathbf r(t+\Delta t),t+\Delta t)=\mathbf v(\mathbf r(t)+\mathbf v(t,\mathbf r(t))\Delta t,t+\Delta t)=\)\(\mathbf v(\mathbf r(t),t)+(\frac{\partial}{\partial x}v_x+\frac{\partial}{\partial y}v_y+\frac{\partial}{\partial z}v_z)\mathbf v\Delta t+\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}\Delta t=\mathbf v(\mathbf r(t),t)+(\frac{\partial}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf v)\mathbf v\Delta t\) 。此即单位时间内某一微量流体元速度的变化。记 \(\Delta t=\mathrm Dt\) ，\(\mathrm D\mathbf v=\mathbf v(\mathbf r(t+\Delta t),t+\Delta t)-\mathbf v(\mathbf r(t),t)=([\frac{\partial}{\partial t}+\mathrm{div}(\mathbf v)]\mathbf v)\Delta t=([\frac{\partial}{\partial t}+\mathrm{div}(\mathbf v)]\mathbf v)\mathrm Dt\) 。
4.2.2. 拉格朗日微分：将上式导出的 \(\frac{\mathrm D\mathbf v}{\mathrm Dt}\equiv[\frac{\partial}{\partial t}+\mathrm{div}(\mathbf v)]\mathbf v\) 称为拉格朗日微分。事实上它是一个属于拉格朗日方程式的记号，它说明了某一微量流体元速度的变化量不仅包含了速度关于时间的偏导数，还要加上它在场中因位置改变而产生的移流项。可称它即是连续介质假设下的微分形式的牛顿第二定律（因为事实上二者等价），称 \(\frac{\mathrm D}{\mathrm Dx}\) 为拉格朗日微分算子，其中 \(x\) 为自变量（或称基本变量）。
4.2.3. 单位时间内微量流体元的动量变化：记 \(\Delta p=\rho\mathbf v\Delta V\) 为一个微量流体元的动量，这个公式的物理意义是显而易见的。在此处应当对时间 \(t\) 求一个偏导，但是注意此处的微分算子应当是拉格朗日微分算子，因为它的中间变量包含了基本的“位置”变量，而由上文叙述位置若改变将产生一个与普通偏导同阶的移流项。称 \(\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}p=\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}(\rho\mathbf v\Delta V)=\Delta V[(\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\rho)\cdot\mathbf v+(\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\mathbf v)\cdot\rho]=\rho\Delta V\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\mathbf v\) 为它的动量变化率。
4.2.4. 体积力与面积力：
4.2.4.1. 体积力：体积力，顾名思义应是由于某个物体具有实体或说占有空间（事实上是形状，大小和质量）所引起的直接受到的力，通常碰到的体积力有万有引力和库仑力。
4.2.4.2. 面积力：面积力，由于两个相邻的物体在表面由于互相作用产生的力，通常碰到的面积力有应力（不论内部的或是外部的）和粘滞力。
4.2.5. 体积力的大小：如果研究对象不是离子流的话，在此处只考虑简单的万有引力——重力。由于冲量对时间的导数即是该矢量力而冲量是一个标量，则先求出合体积力 \(\mathbf G=\Delta M\mathbf g=\rho\Delta V\mathbf g\) 就是重力的大小。注意这里保有竖直向下的方向意义。
4.2.6. 面积力的大小：