模型评估

模型评估是机器学习中非常重要的一部分，它可以帮助我们评估模型的好坏，从而选择最优的模型。

评估方式

在机器学习中，我们通常会将数据集划分为训练集和测试集，训练集用于训练模型，测试集用于评估模型的好坏。

训练误差：模型在训练集上的误差，用于衡量模型在训练集上的拟合程度，训练误差越小，说明模型在训练集上的拟合程度越好。
测试误差：模型在测试集上的误差，用于衡量模型在测试集上的泛化能力，测试误差越小，说明模型在测试集上的泛化能力越好。
精确率：在所有预测为正例的样本中，预测正确的样本所占的比例；公式写作：\(P=\frac{TP}{TP+FP}\)，其中，\(TP\)表示真正例，\(FP\)表示假正例。
召回率：在所有正例中，预测正确的样本所占的比例；公式写作：\(R=\frac{TP}{TP+FN}\)，其中，\(TP\)表示真正例，\(FN\)表示假负例。

训练的模型会可能后有以下问题：

过拟合：模型在训练集上的拟合程度很好，但是在测试集上的泛化能力很差。（\(J_{train}(\theta)\)很小，\(J_{test}(\theta)\)很大）
欠拟合：模型在训练集上的拟合程度很差，但是在测试集上的泛化能力很好。（\(J_{train}(\theta)\)很大，\(J_{test}(\theta)\)很小）

在实际应用中，我们通常会将数据集划分为训练集、交叉验证集和测试集，训练集用于训练模型，验证集用于评估模型的好坏，测试集用于测试模型的泛化能力。

在实际应用中，我们通常会使用交叉验证误差来选择模型。选择交叉验证误差最小的模型。

通过增加模型的复杂度，可以降低偏差，但是会增加方差；反之，通过减少模型的复杂度，可以降低方差，但是会增加偏差。

正则化是一种降低模型复杂度的方法，它通过增加模型的约束，来降低模型的复杂度，从而降低方差，增加偏差。

正则化的公式如下：

\[J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2+\lambda\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 \]

其中，\(\lambda\)为正则化参数，用于控制正则化的程度。

选择不同的\(\lambda\),会得到不同的偏差和方差：

通过交叉验证误差选择\(\lambda\)，选择交叉验证误差最小的\(\lambda\)。

观察训练误差\(J_{train}(\theta)\)和交叉验证误差\(J_{cv}(\theta)\)的关系：

随着\(\lambda\)的增大，\(J_{train}(\theta)\)会增大，\(J_{cv}(\theta)\)会减小，
当\(\lambda\)取到一定值时，\(J_{cv}(\theta)\)会开始增大，这时的\(\lambda\)就是最优的\(\lambda\)。

为什么\(J_{cv}(\theta)\)会开始增大？
因为\(\lambda\)增大，会导致模型的复杂度降低，此时无论是训练集还是交叉验证集，都会出现欠拟合的情况，所以\(J_{cv}(\theta)\)会开始增大。

学习曲线是一种用于分析模型的方法，它通过绘制训练误差\(J_{train}(\theta)\)和交叉验证误差\(J_{cv}(\theta)\)的关系，来分析模型的偏差和方差。

在学习曲线中，横轴表示训练集的大小，纵轴表示误差。

高偏差：\(J_{train}(\theta)\)和\(J_{cv}(\theta)\)离基准误差很远，且两者之间的差距很小。

基准线的选择一般为人类水平，即人类在该问题上的表现
高方差：\(J_{train}(\theta)\)和\(J_{cv}(\theta)\)离基准误差很远，且两者之间的差距很大。