七、(10分) 设 $A$ 为 $n\,(n>1)$ 阶非异阵, $B$ 是 $A$ 的逆阵. 任取 $r$ 个指标 $1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n$, 剩余的指标记为 $1\leq i_{r+1}<\cdots<i_n\leq n$. 证明:
$$|A|\cdot B\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} i_{r+1} & \cdots & i_n \\ i_{r+1} & \cdots & i_n \\ \end{pmatrix}.$$
证明 下面给出四种不同的证法.
证法 1 (矩阵乘法) 注意到对第一类初等阵 $P_{ij}$ 有 $P_{ij}BP_{ij}=P_{ij}A^{-1}P_{ij}=(P_{ij}AP_{ij})^{-1}$, 故对 $A,B$ 可通过若干次相邻的行对换分别将第 $i_1$ 行, $\cdots$, 第 $i_r$ 行换至第 $1$ 行, $\cdots$, 第 $r$ 行; 再通过对称的列对换分别将第 $i_1$ 列, $\cdots$, 第 $i_r$ 列换至第 $1$ 列, $\cdots$, 第 $r$ 列, 且这些操作不改变 $|A|$ 的值. 因此, 我们只要证明 $i_1=1$, $\cdots$, $i_r=r$ 的情形即可.
设 $A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$, 其中 $A_{11},B_{11}$ 都是 $r$ 阶方阵, 则
$$|B_{11}|=B\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & r \\ 1 & 2 & \cdots & r \\ \end{pmatrix},\quad |A_{22}|=A\begin{pmatrix} r+1 & \cdots & n \\ r+1 & \cdots & n \\ \end{pmatrix}.$$
由 $I_n=AB=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$ 可得
$$A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=I_r,\quad A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}=O.$$
于是
$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & O \\ B_{21} & I_{n-r} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_r & A_{12} \\ O & A_{22} \\ \end{pmatrix}.$$
上式两边同取行列式即得 $|A|\cdot|B_{11}|=|A_{22}|$, 结论得证.
证法 2 (分块初等变换与降阶公式) 同证法 1 先将一般情况化约到特殊情况 $i_1=1$, $\cdots$, $i_r=r$ 的证明.
设 $A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$, 其中 $A_{11},B_{11}$ 都是 $r$ 阶方阵.
Case 1 若 $A_{22}$ 非异, 则可利用分块初等变换求出 $B=A^{-1}$ (计算过程留给读者完成):
$$(A\mid I_n)=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & | & I_r & O \\ A_{21} & A_{22} & | & O & I_{n-r} \\ \end{pmatrix}\to$$
$$\begin{pmatrix} I_r & O & | & (A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & -(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ O & I_{n-r} & | & -A_{22}^{-1}A_{21}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ \end{pmatrix}.$$
因此, $B_{11}=(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}$ 也非异, 并且由 $|A|=|A_{22}|\cdot|A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}|$ (行列式的降阶公式) 可得
$$|A|\cdot|B_{11}|=|A|\cdot|A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}|^{-1}=|A_{22}|,$$
故结论得证.
Case 2 若 $A_{22}$ 奇异, 我们断言 $B_{11}$ 也奇异. 否则, 若 $B_{11}$ 非异, 则由 $A,B$ 互为逆阵以及 Case 1 的计算结果可知 $A_{22}=(B_{22}-B_{21}B_{11}^{-1}B_{12})^{-1}$ 也非异, 矛盾! 此时, $|A_{22}|=|B_{11}|=0$, 故本题结论也成立.
证法 3 (Laplace 定理以及 Cauchy-Binet 公式) 我们先证明一个引理, 它是高代教材定理 1.4.1 和定理 1.4.2 的推广.
引理 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 给定指标 $1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n$, $1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n$. 为了书写方便, 简记指标组 $\bm{i}=(i_1,\cdots,i_r)$, $\bm{j}=(j_1,\cdots,j_r)$. 定义指标组的 Kronecker 记号: 若指标组 $\bm{i}=\bm{j}$, 即 $i_1=j_1$, $\cdots$, $i_r=j_r$, 则 $\delta_{\bm{i,j}}=1$; 若指标组 $\bm{i}\neq\bm{j}$, 则 $\delta_{\bm{i,j}}=0$. 以下两个等式成立:
$$\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A\begin{pmatrix} \bm{i} \\ \bm{k} \\ \end{pmatrix}\widehat{A}\begin{pmatrix} \bm{j} \\ \bm{k} \\ \end{pmatrix}=\delta_{\bm{i,j}}|A|,\,\,\,\,\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A\begin{pmatrix} \bm{k} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}\widehat{A}\begin{pmatrix} \bm{k} \\ \bm{j} \\ \end{pmatrix}=\delta_{\bm{i,j}}|A|.$$
引理的证明 若 $\bm{i}=\bm{j}$, 则要证的两个等式就是行列式的 Laplace 展开 (高代教材定理 1.7.1). 若 $\bm{i}\neq\bm{j}$, 则仿照高代教材定理 1.4.1 的证明来得到第二个等式 (第一个等式完全类似). 构造一个新矩阵 $C$, 当 $l\neq j_1,\cdots,j_r$ 时, $C$ 的第 $l$ 列就是 $A$ 的第 $l$ 列; $C$ 的第 $j_1$ 列是 $A$ 的第 $i_1$ 列; $\cdots$; $C$ 的第 $j_r$ 列是 $A$ 的第 $i_r$ 列. 由于 $\bm{i}\neq\bm{j}$, 即指标组 $(i_1,\cdots,i_r)$ 与 $(j_1,\cdots,j_r)$ 不全相等, 故矩阵 $C$ 至少有两列相同, 于是 $|C|=0$. 另一方面, 对 $C$ 的第 $j_1,\cdots,j_r$ 列进行 Laplace 展开, 即得第二个等式. $\Box$
回到原题的证明. 由 $AB=I_n$ 以及 Cauchy-Binet 公式可得
$$\delta_{\bm{j,i}}=I_n\begin{pmatrix} j_1\cdots j_r \\ i_1\cdots i_r \\ \end{pmatrix}=AB\begin{pmatrix} j_1\cdots j_r \\ i_1\cdots i_r \\ \end{pmatrix}=\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A\begin{pmatrix} \bm{j} \\ \bm{k} \\ \end{pmatrix}B\begin{pmatrix} \bm{k} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}.$$
于是由上述等式以及引理可得
$$A\begin{pmatrix} i_{r+1}\cdots i_n \\ i_{r+1}\cdots i_n \\ \end{pmatrix}=\widehat{A}\begin{pmatrix} i_1\cdots i_r \\ i_1\cdots i_r \\ \end{pmatrix}=\sum_{1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n}\delta_{\bm{j,i}}\cdot\widehat{A}\begin{pmatrix} \bm{j} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}$$
$$=\sum_{1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n}\left(\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A\begin{pmatrix} \bm{j} \\ \bm{k} \\ \end{pmatrix}B\begin{pmatrix} \bm{k} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}\right)\widehat{A}\begin{pmatrix} \bm{j} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}$$
$$=\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}\left(\sum_{1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n}A\begin{pmatrix} \bm{j} \\ \bm{k} \\ \end{pmatrix}\widehat{A}\begin{pmatrix} \bm{j} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}\right)B\begin{pmatrix} \bm{k} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}$$
$$=\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}\delta_{\bm{k,i}}|A|\cdot B\begin{pmatrix} \bm{k} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}=|A|\cdot B\begin{pmatrix} \bm{i} \\ \bm{i} \\ \end{pmatrix}=|A|\cdot B\begin{pmatrix} i_1\cdots i_r \\ i_1\cdots i_r \\ \end{pmatrix},$$
结论得证.
证法 4 ($|A+B|$ 型行列式以及多元多项式) 令 $C=\mathrm{diag}\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$, 其中 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 为未定元. 由高代白皮书例 1.46 ($|A+B|$ 型行列式) 可得
$$|A|\cdot |B+C|=|A|\left(|B|+|C|+\sum_{r=1}^{n-1}\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n}B\begin{pmatrix} i_1\cdots i_r \\ i_1\cdots i_r \\ \end{pmatrix}x_{i_{r+1}}\cdots x_{i_n}\right)$$
$$=1+|A|x_1x_2\cdots x_n+\sum_{r=1}^{n-1}\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n}|A|\cdot B\begin{pmatrix} i_1\cdots i_r \\ i_1\cdots i_r \\ \end{pmatrix}x_{i_{r+1}}\cdots x_{i_n}.$$
另一方面, $|A|\cdot |B+C|=|AB+AC|=|I_n+AC|$, 再次由高代白皮书例 1.46 可得
$$|I_n+AC|=1+|A|x_1x_2\cdots x_n+\sum_{r=1}^{n-1}\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_{r+1}\cdots i_n \\ i_{r+1}\cdots i_n \\ \end{pmatrix}x_{i_{r+1}}\cdots x_{i_n}.$$
比较上述两式, 由多元多项式相等的定义即得结论. $\Box$
注 (1) 注意到 $B=A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*$, 因此本题的结论等价于
$$A^*\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ \end{pmatrix}=|A|^{r-1}\cdot \widetilde{A}\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ \end{pmatrix}.$$
事实上, 上述结论不需要 $A$ 是非异阵这个条件, 并且还能推广到更加一般的情形, 具体细节请参考 15 级高代 I 每周一题第 6 题.
(2) 本题得到 8 分以上的同学为:
证法 1: 覃昊东 (10), 文俊 (10), 周家宏 (10), 林加耀 (8), 高宇飞 (8);
证法 2: 陈天乐 (10);
证法 3: 褚乐一 (10);
证法4: 马家鑫 (5, 提供了证法 4 的原始思想).