环与子环

环的定义

设 \(R\) 是一非空集合，在 \(R\) 上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为“+”和“·”，如果 \(R\) 具有如下性质：

\(R\) 对于加法是一个交换群
\(R\) 对于乘法封闭
乘法满足结合律，即 \(\forall a,b,c\in R,a·(b·c)=(a·b)·c\)
左右分配律成立，即 \(\forall a,b,c\in R,a·(b+c)=a·b+a·c，(b+c)·a=b·a+c·a\)

由于环中乘法对于加法的左分配律成立不一定保证右分配律成立（乘法不一定满足交换律），所以需要左右分配律成立

则称 \((R,+,·)\) 为一个环，省略运算符简称 \(R\) 是一个环。

交换环

如果环 \(R\) 关于乘法满足交换律，则称 \(R\) 是一个交换环。

例：全体有理数 \(Q\) 、全体实数 \(R\) 、全体复数 \(C\) 和全体整数集合 \(Z\) 对于普通的加法和乘法构成交换环，其中 \(Z\) 构成的环比较重要，称为整数环。

模 \(m\) 剩余类环

定义模 \(m\) 的剩余类集合 \(\{\overline{0},\overline{1},...,\overline{m-1}\}\) 上的乘法如下：

\[\{\overline{i}\overline{j} =\overline{ij}(mod\ m) \} \]

则剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个交换环，称为模 \(m\) 剩余类环。

扩环与子环

如果一个环 \(R\) 的子集 \(S\) 对于 \(R\) 中的运算也构成环，则称 \(S\) 是 \(R\) 的子环， \(R\) 是 \(S\) 的扩环。
一个环 \(R\) 是自身的子环。仅含零元的集合 \(\{0\}\) 也构成 \(R\) 的子环。对任意一个环 \(R\) 至少有两个子环，即 \(R\) 自身和只包含单位元的子集 \(\{0\}\) ，他们称为 \(R\) 的平凡子环。

一个环 \(R\) 的一个子集 \(S\) 构成一个子环的条件

\(\forall a,b\in S\) ，有 \(a-b\in S,ab\in S\)

第一条类比子群条件中的 \(ab^{-1}\in S\) ，第二条得到乘法封闭性。又因为环中乘法结合律和分配律成立，因此上述两个条件能保证 \(S\) 构成子环

例：整数环 \(Z\) 中所有整数的倍数
\[nZ=\{rn|r\in Z\} \]
是 \(Z\) 的子环。

概念

零元：加法群的单位元
负元：元素的加法逆元

环不一定存在单位元和逆元，如果存在则唯一。

零因子：

定义：如果在一个环 \(R\) 里 \(a\ne 0,b\ne 0\) ，但 \(ab=0\) 则称 \(a\) 是这个环里的一个左零因子， \(b\) 是这个环里的一个右零因子。

交换环中每个左零因子同时也是右零因子，即零因子。非交换环中也可能有零因子。如果一个环 \(R\) 中没有零因子，则称 \(R\) 为无零因子环。
- 例：模12剩余类环中的零因子： \(\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{6},\overline{8},\overline{9},\overline{10}\) （即与12不互素的剩余类）。
- 例：整数环 \(Z\) ，有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 就是无零因子环。
判断环内是否有零因子？

定理：在没有任何零因子的环里消去律成立，即如果

\(a\ne 0,s.t.\\ab=ac\Rightarrow b=c\\ba=ca\Rightarrow b=c\)

反之，如果上面的任意一个消去律成立，则环里没有零因子。

环的计算规则

\(0+a=a+0=a\)
\(a+(-b)=a-b\)
\(-a+a=a-a=0\)
\(-(-a)=a\)
\(a+b=c\Rightarrow b=c-a\)
\(-(a+b)=-a-b;-(a-b)=-a+b\)
\(\forall n\in N^{*},na=a+a+...+a\\(-n)a=-na\\0a=0\)
\(\forall n.m\in Z\) ，有 \(: \\(n+m)a=na+ma\\n(ma)=(nma)\\n(a+b)=na+nb\)

1-8由加法交换群得到

\(\forall n.m\in N^{*}\) 有 \(: \\a^{n}=aa...a\\a^{n}a^{m}=a^{n+m}\\(a^{n})^{m}=a^{nm}\)

9由乘法结合律得到

\((a-b)c=ac-bc;c(a-b)=ca-cb\)
\(0a=a0=0\) （此处的0即环 \(R\) 的零元）
\((-a)b=a(-b)=-ab;(-a)(-b)=ab\)
\(a(b_{1}+...b_{n})=ab_{1}+...+ab_{n}\\(b_{1}+...b_{n})a=b_{1}a+...b_{n}a\\(\sum^{m}_{i=1}a_{i})(\sum^{n}_{j=1}b_{i})=\sum^{m}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}a_{i}b_{i}\)
\(\forall n\in Z,(na)b=a(nb)=n(ab)\)

10-14由分配律得到

整环，除环与域

整环

定义：如果一个环 \(R\) 满足下列条件：

\(R\) 是交换环；
存在单位元，且 \(1\ne 0\) ；
没有零因子。

则 \(R\) 称为整环。

条件2中 \(1\ne 0\) 意味着环中不止一个元素，或存在非零元。

整数环 \(Z\) ，全体有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 都是整环

除环

定义：如果一个环 \(R\) 存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法群，则 \(R\) 称为除环。

可以认为除环是一个加法群和一个乘法群的集成，而分配律是这两个群之间的联系纽带。
除环里无零因子。因为非零元乘法构成群意味着消去律成立。
“除环”这个名词是由于每个非零元都有逆元，可以做“除法”
全体有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 都是除环；整数环 \(Z\) 不是除环。

域

定义（从交换环出发）：一个交换环被称为一个域。

定义（从环出发）：如果一个环 \(F\) 存在非零元，且全体非零元构成一个乘法交换群，则 \(F\) 称为一个域。

定义（从群出发）：一个集合 \(F\) 是一个域应该满足以下三个条件：

构成加法交换群；
非零元构成乘法交换群；
满足分配律。

定理：

域一定是除环。
全体有理数环 \(Q\) ，全体实数环 \(R\) ，全体复数环 \(C\) 都是域；整数环 \(Z\) 不是域。

*有限域

元素有限的除环称为有限除环，元素有限的域称为有限域。

当 \(p\) 是素数时，模 \(p\) 剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个域，记为 \(GF(p)\) 。

对任意素数 \(p\) ， \(GF(p)\) 是有限域。

子除环与子域

一个除环 \(D\) 的一个子集 \(S\) 构成一个子除环 \(D\) 的条件是：

\(S\) 包含非零元；
\(\forall a,b\in S,a-b\in S\)
\(\forall a,b\in S,b\ne0,ab^{-1}\in S\)

环的同态与理想

环的同态与同构

定义： \((R,+,\cdot)\) 和 \((R',\oplus,\odot)\) 是两个环，如果存在 \(R\) 到 \(R'\) 的一个映射 \(f\) 加法和乘法都在 \(f\) 下得到保持，即：\(\forall a,b\in R:\)

\[\begin{align}&f(ab)=f(a)f(b)\\&f(a+b)=f(a)+f(b)\end{align} \]

则称 \(f\) 是 \(R\) 到 \(R'\) 的同态映射，简称同态。如果 \(f\) 是单射，则称 \(f\) 是是单同态；如果 \(f\) 是满射，则称 \(f\) 是满同态。如果 \(f\) 是一一映射，则称 \(f\) 是同构，此时称 \((R,+,\cdot)\) 和 \((R',\oplus,\odot)\) 同构，表示为 \(R\cong R'\) 。

零同态

设 \(R\) ， \(S\) 是两个环， \(R\) 到 \(S\) 的映射 \(f\) ：\(\forall r\in R,f(r)=0\) （这里的 \(0\) 是 \(S\) 的零元）

同态性质

\(f\) 是环 \(R\) 到 \(R'\) 的同态，则有：

\(f(0)=0'\) （ \(0'\) 是 \(R'\) 的零元）
\(\forall a\in R,f(-a)=-f(a)\)
如果 \(R\) 有单位元（ \(R\) 不一定有单位元），则 \(R'\) 也有单位元，且 \(f(1)=1'\) （ \(1'\) 是 \(R'\) 的单位元）
如果 \(R\) 有单位元，且 \(a\in R\) 可逆（ \(a\) 不一定有逆元），则 \(f(a)\) 在 \(R'\) 中可逆，且 \(f(a)^{-1}=f(a^{-1})\)
如果 \(R\) 是交换环，则 \(R'\) 也是交换环。

注意：没有零因子的性质在同态下不一定保持（在同构下保持）

同构性质

假设两个环 \(R\cong R'\) ，则：

如果 \(R\) 是整环，则 \(R'\) 也是整环；
如果 \(R\) 是除环，则 \(R'\) 也是除环；
如果 \(R\) 是域，则 \(R'\) 也是域；

环同态的核

核：单位元的完全反像

定义

\(f\) 是环 \(R\) 到 \(R'\) 的同态，设 \(0'\) 是 \(R'\) 的零元，则 \(f\) 的核为：

\[ker(f)=\{a\in R\mid f(a)=0'\} \]

在单同态和同构下， \(ker(f)=\{0\}\) 。

性质

\(f\) 是环 \(R\) 到 \(R'\) 的同态，则有：

\(ker(f)\) 是环 \(R\) 的一个子环。
\(f\) 是单同态当且仅当 \(ker(f)=\{0\}\) 。
\(\forall r\in R,a\in ker(f),s.t.\\f(ra)=f(r)f(a)=0'\\f(ar)=f(a)f(r)=0'\)

环同态的核是特殊的子环——理想

理想

定义

设 \(I\) 是环 \(R\) 的加法子群。

如果对于 \(\forall r\in R,a\in I\) ，都有 \(ra\in I\) ，则称 \(I\) 是 \(R\) 的一个左理想。
如果对于 \(\forall r\in R,a\in I\) ，都有 \(ar\in I\) ，则称 \(I\) 是 \(R\) 的一个右理想。
当 \(I\) 同时是左理想和右理想时，称为理想。

环同态的核是理想；

对于交换环，任意左右理想都是理想；

左右理想都是子环；

理想在环论中的地位相当于正规子群在群论中的地位。

\(\{0\}\) 是环 \(R\) 的理想，称为零理想； \(R\) 也是 \(R\) 的理想，称为单位理想。零理想和单位理想统称为平凡理想。除了平凡理想的其他理想称为真理想。
除环仅有平凡理想，因此理想对除环和域没有太大意义。

\(X\) 生成的理想

设集合 \(X\) 是环 \(R\) 的非空子集， \(\{I_{1},I_{2}...\}\) 是包含 \(X\) 的所有理想，则称它们的交是由 \(X\) 生成的理想，记为 \((X)\) 。 \(X\) 中的元素称为 \((X)\) 的生成元素。当 \(X\) 是有限集时，称 \(X\) 是有限生成的理想 。由一个元素生成的理想 \((a)\) 称为主理想。

\((X)\) 是包含 \(X\) 的最小理想， \((a)\) 是包含元素 \(a\) 的最小理想。

*\((a)\) 包含的元素（推导过程见书）

\(R\) 是普通的环：

\((a)=\{\sum x_{i}ay_{i}+xa+ay+na\}\)
\(R\) 是交换环：

\((a)=\{xa+na\},(x\in R,n\in Z)\)
\(R\) 有单位元：

\((a)=\{\sum x_{i}ay_{i}\}\)
\(R\) 是交换环且有单位元：

\((a)=\{xa\},(x\in R)\)

定理

环 \(R\) 的非空子集是左理想的充分必要条件： \(\forall a,b\in I,r\in R,s.t.a-b\in I,ra\in I\)

（右理想和理想同理）
两个左理想的交是左理想，两个右理想的交是右理想，两个理想的交是理想。
如果一个整环上的理想都是主理想，则称为主理想整环。
- 整数环 \(Z\) 是主理想整环