Matrix-Tree

行列式求值 交换矩阵 \(A\) 两行，\(\det(A') = -\det(A)\) 。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后，\(\det(A') = k\times\det(A)\)。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后加到第 \(j\) 行上，\ ......

题目描述 给定一张 \(n\) 个结点 \(m\) 条边的带权图（可能为无向图，可能为有向图）。 定义其一个生成树 \(T\) 的权值为 \(T\) 中所有边权的乘积。 求其所有不同生成树的权值之和，对 \(10^9+7\) 取模。 注意： 本题中，有向图的生成树指的是 以 \(1\) 为根的外向树 ......

归类为线性代数、图论。证明都是神仙，特别是名字带“理”的，不证了。 ## 行列式 ### 定义 行列式（Determinant）是对 $n$ 阶方阵 $A$ 定义的，是一个标量。$A$ 的 $n$ 阶行列式 $det(A)$ 或 $|A|$ 定义如下： $$det(A)=\sum_p(-1)^{\m ......

首先，我们要知道，一个矩阵的行列式可以使用高斯消元来求。 定义无向图的 Laplace 矩阵：$L_{i,j}=D_{i,j}-G_{i,j}$，其中 $D$ 是度数矩阵，满足 $i=j$ 时 $D_{i,i}=deg_i$，其余时刻 $D_{i,i}=0$；$G$ 是邻接矩阵，$G_{i,j}$ ......