NTT

一周一博客二专题计划 题面 n 个点的简单 (无重边无自环) 有标号无向连通图数目。 看着就很典 思路 设\(f(n)\)为n点连通图数目。设\(g(n)\)为n点不一定联通图数目，显然直接枚举每条边是否存在，\(g(n)=2^{\frac{n*(n-1)}{2}}\) \[g(n)=\sum_{i ......

快速数论变换 | NTT 初学 前置 FFT 原根 阶：称满足同余方程 \(a^x\equiv 1\mod m\) 的最小正整数解 \(x\) 为 \(a\) 的模 \(m\) 的阶，记为 \(Ord_ma\)。 观察到本质就是最短循环节，同时该同余方程类似于欧拉定理： \[a^{\varphi ( ......

\(Fast Fourier Transform(FFT)\) 在 oi 中的主要作用是用来求“卷积”（多项式乘法）。 可将时间复杂度降为 \(O(n \log_2n)\) 3步快速求出多项式乘积： 由系数表示法转换成点值表示法。 求两个多项式的乘积。 将点值表示法转换成系数表示法。 假设A的点值表 ......

1 Forewords 卷积，但不止卷积 - FFT 漫谈 先有 FT，再有 DFT，才有 FFT 时频转换是最初的用途 发现单位根优秀性质，James Cooley, John Tukey 发明现代 FFT 加速 DFT，但此前相似的发现早已有之 后来将 DFT 与卷积定理联系，FFT 才被用于计 ......

目录边界对称性递推形式容斥 https://www.luogu.com.cn/problem/P5825 题意：我们记一个排列 P 的升高为 \(k\) 当且仅当存在 \(k\) 个位置 \(i\) 使得 \(P_i<P_{i+1}\)。 给定排列长度 \(n\)，对于所有整数 \(k\in [0, ......

回顾:FFT FFT（快速傅立叶变换）学习 - Isakovsky - 博客园 (cnblogs.com) 目的:将多项式的系数表示法形式转换为点值表示法形式,或者说,快速计算出多项式在若干个点上的值. 中心思想:适当地选取自变量,使得自变量两两互为相反数,求出的多项式值可重复利用,减少运算次数 例 ......

在系数均为整数的时候，可以用NTT代替FFT，这样不会出现精度问题。 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long lld; const int N = 20000005; const lld g = 3, mod = ......

## FFT FFT 是一种高效实现 DFT 和 IDFT 的方式，可以在 $O(n \log n)$ 的时间内求多项式的乘法。 ### 多项式的点值表示 不同于用每项的系数来表示一个多项式，我们知道对于给定的 $n+1$ 个点值，可以确定唯一的 $n$ 次多项式。这种用点值表示多项式的方法叫点值表 ......

[TOC] 数论来力……证明之类的也许会大挂。 或者其实还好，在参考别人的证明思路之后。 ### Pre 注意到 FFT 中需要复数计算，原因在于涉及到了单位复数根。 有没有替代品？复数域（这是包含实数和虚数的）内暂时没有。 不过我们可以考虑在模意义下找一个。 ### 阶与原根 对于一个正整数 $n ......

### 阶 由欧拉定理得 $a^{\varphi(m)}\equiv1\space(\text{mod}\space m),(a,m)=1$ . 故满足 $a^n\equiv1\space(\text{mod}\space m)$ 的最小 $n$ 存在，称为 $a$ 模 $m$ 的阶，记作 $\de ......

# 任意模数多项式乘法 > 前言：\ > 在教练讲的时候脑子并不清醒，所以没听懂。后来自己看博客学会了，但目前只学了一种方法：可拆系数FFT。为了方便日后复习，决定先写下这个的笔记，关于三模数NTT下次再补。 > > 建议：准备好演算纸和笔，本篇含有大量推算部分。 > > 注：本篇文章是本蒟写的，d ......

首先我们要明确一个方向，就是 $\text{FFT}$ 的原理是单位根的几个性质： - 消去原理： $\omega_{tn}^{tk}=\omega_{n}^k$ - 对称原理：$\omega_{n}^{k}=-\omega_n^{k+\frac n 2}$ - $\omega_{n}^k=(\o... ......

~~怎么有人选题迟了么得FFT啊。~~好久没更新博客了，来水一发！ 参考资料： NTT：https://oi-wiki.org/math/poly/ntt/ CUDA实现FFT并行计算：https://blog.csdn.net/Liadrinz/article/details/106695275 ......

NTT 笔记 前言： 这个算法是与FFT 类似的，本片不会再从头讲起，建议先去补补课《FFT 笔记》。 本文只会讲一下互相关联的地方与一些不同的地方。 建议：在电脑前放好演算纸和笔。 注：本篇文章是我这个小蒟弱写的，真正的dalao请看个玩笑便好，不必争论对错（但是欢迎指出文章存在的小错误）。 NT ......

概念 多项式乘法时，我们发现暴力乘十分缓慢，但是点值乘十分快速。考虑求 $A$ 和 $B$ 的卷积。 一个 $n$ 次多项式可以被 $n+1$ 个点确定。 设多项式 $A(x)$ 的系数为 $(a_0,a_1,\cdots,a_n)$ 对其奇偶分类得 $A(x)=\sum\limits a_{2i} ......

打个广告QwQ 对应的FFT洛谷blog链接 对应的csdn博客链接 ~~个人觉得洛谷的观感最好。~~ 不忘历史 八百年前学了 $\text{FFT}$，因vicky过于垃圾，遂放弃。 七百年前重拾 $\text{FFT}$，勉强搞懂了它的递归写法，因vicky再一次懒癌附体，遂连板题都没写就弃疗了 ......

FFT： 首先要知道 $n$ 次多项式可以用 $n+1$ 个系数表示，也可以用 $n+1$ 个不同的 $x$ 得到的 $f(x)$ 点值来唯一确定。 那么设单位根 $\omega_{n}$，则有 $f(\omega_{n}^k)=f_0(\omega_{n/2}^k)+\omega_n^kf_1(\ ......